第2章 數列與趨近
2.1 項的規則與有限觀察
數列是以自然數作輸入的函數。本冊的數列從 n=1 起，寫作 a₁、a₂、a₃、⋯。數列可以有明確通式，也可以給首項與遞迴規則。下標只取整數，散點之間不必有可供取值的曲線。
「趨近 L」不是某一項剛好等於 L，而是往後所有項都可以留在任意指定的誤差範圍內。有一個子列接近 L 不夠；別的子列可能一直走向另一個值。
2.2 四個例題
例題1 用式子找趨勢
aₙ=n/(n+1) 的前四項是1/2、2/3、3/4、4/5。把它改寫成 1−1/(n+1)，就能看出差距由正的 1/(n+1) 決定。分母可以任意大，差距可任意小；不是靠「前四點排得漂亮」來猜1。
例題2 相同的前綴可以接不同尾巴
兩個數列的前五項都取0。從第六項起，第一個永遠取1，第二個永遠取−1。對小於1/2的誤差要求，前者從第六項起全部落在1附近，後者則全部落在−1附近。五個完全相同的觀察值不能保證相同的極限。
例題3 奇偶分開看
設 bₙ=(−1)^n+1/n。偶數項為1+1/n，隨偶下標變大而靠近1；奇數項為−1+1/n，靠近−1。若原數列能一直待在某個 L 的任意小鄰域，足夠晚的奇偶項都得待在那裡，兩種尾段就不會有不同的極限。因此 bₙ 不收斂。
例題4 由遞迴寫出誤差
a₁=1，aₙ₊₁=(aₙ+2)/2。注意 2−aₙ₊₁=(2−aₙ)/2，初始差距為1。每步將差距減半，歸納得 2−aₙ=(1/2)^(n−1)。因此 aₙ=2−(1/2)^(n−1)，單調增加且以2為上界。又 2^(n−1)≥n：n=1 成立，而乘2後 2n≥n+1。故差距至多1/n，可任意小，極限為2。
2.3 有界、單調與上確界
「有界」是所有項被同一對上下界夾住；「單調不減」是 aₙ₊₁≥aₙ。兩者分開都不足以保證收斂，例如 (−1)^n 有界但擺動，n 單調增加但無上界。
本書使用實數完備性：非空且有上界的實數集合有上確界。若數列單調不減且有上界，取 S 為所有項的上確界。任取 ε>0，S−ε 不是上界，故可找到 a_N>S−ε；此後 S−ε<a_N≤aₙ≤S。這正是收斂到 S 所需的尾段。單調不增且有下界時，可對 −aₙ 用同樣理由。這個證明不是從「有界」直接跳到「收斂」。
2.4 練習
- B06-C02-Q01 列出 aₙ=n²−n 的前四項。
- B06-C02-Q02 保持 1、1/2、1/3、1/4 這四項，寫一個極限不為0的數列。
- B06-C02-Q03 說明 aₙ=3−1/n 是否單調，並找一組上下界。
- B06-C02-Q04 a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ/3。求前四項與通式。
- B06-C02-Q05 說明 (−1)^n 何以沒有極限，不要只列前幾項。
- B06-C02-Q06 偶數下標取 aₙ=n，奇數下標取0。能否有有限極限？
- B06-C02-Q07 判斷 aₙ=1/n³ 的單調性與有界性；候選極限是什麼？
- B06-C02-Q08 有界數列是否一定收斂？給出符合有界但不收斂的規則。
- B06-C02-Q09 aₙ=1/(n+2)。它的首項是多少？把 n=0 代入所得的數是否為本冊約定的首項？
- B06-C02-Q10 a₁=4、aₙ₊₁=aₙ/2+1。寫出距2的差距、單調性與極限。
2.5 完整解答
Q01
逐一代 n=1、2、3、4，得0、2、6、12。下標從1開始，不能在表首另加 a₀。
Q02
令 1≤n≤4 時 aₙ=1/n，n≥5 時 aₙ=2。從第五項起與2的差為零，所以極限為2。
Q03
n+1>n>0，故 1/(n+1)<1/n，減去它後 aₙ 單調增加。由 0<1/n≤1 得 2≤aₙ<3，下界2、上界3。
Q04
依序乘2/3，得 1、2/3、4/9、8/27；從第一項到第 n 項乘了 n−1 次，所以 aₙ=(2/3)^(n−1)。
Q05
任意晚仍有等於1的偶數項與等於−1的奇數項。若兩者同在某 L 的 1/2 鄰域，距離會小於1，與距離2矛盾。不存在這樣的共同尾段。
Q06
偶數項任意大，故不能全落在任何有限 L 的固定半徑鄰域；奇數項又始終為0。沒有有限極限，也不是整個數列趨向正無窮。
Q07
分母 n³ 嚴格增加，故 aₙ 嚴格減少，且 0<aₙ≤1。又 1/n³≤1/n，可把它壓到任意小正數以下，所以極限為0。
Q08
取 aₙ=(−1)^n，−1≤aₙ≤1。奇偶項的固定距離2不隨下標消失，不能共同進入同一個足夠小的誤差帶。
Q09
a₁=1/(1+2)=1/3。若形式上代 n=0 得1/2，但0不在這個數列的下標範圍，不能拿它當首項。
Q10
aₙ₊₁−2=(aₙ−2)/2，且 a₁−2=2，因此 aₙ−2=2(1/2)^(n−1)。差距保持正值並逐步減半，故 aₙ 單調減少並收斂到2。