第7章 由平均變化到導數
7.1 差商的極限
在本冊，未特別加註的「在 a 可微」指 a 周圍有一個定義域的開區間，且下式的雙側極限是有限實數：
f′(a)=lim（h→0）[f(a+h)−f(a)]/h，差商只用 h≠0。
若存在，這個值是導數。把每個可微點送到它的導數，就得到新函數 f′；其定義域不一定與 f 相同。切線在此是經過 (a,f(a))、斜率 f′(a) 的直線，方程 y=f(a)+f′(a)(x−a)。
可微必連續：在去心鄰域，f(a+h)−f(a)=h·差商。差商趨近有限值，乘上趨近0的 h 後，增量趨近0。反方向不成立，角點正好揭示兩個條件的差別。
7.2 四個例題
例題1 從定義推出平方函數的導數
對 f(x)=x²，任取實數 a。h≠0 時差商為 [(a+h)²−a²]/h=2a+h。令 h→0，得 f′(a)=2a。特別在 a=1，斜率2，切線 y=1+2(x−1)=2x−1。
這裡取極限的是去心簡式，不是把 h=0 代入原差商。原式沒有 h=0 的值，導數仍可存在。
例題2 速度是位置的導數
令 s(t)=3t²−2t，單位公尺，0≤t≤5。以 t=2 為起點，差商為 [3(2+h)²−2(2+h)−(12−4)]/h=10+3h。h→0 時得瞬時速度10公尺／秒；t=2 是內點，左右小步長都合法。
例題3 絕對值的角點
f(x)=|x| 在0連續，因 |f(x)−0|=|x|。但差商 |h|/h 的左極限為−1，右極限為1。兩者不相等，故 f′(0) 不存在。圖上的兩段直線斜率不能取平均當作導數。
例題4 根式在內點與端點不同
對 √x 在 a=4，先用有理化把差商化為 1/[√(4+h)+2]，由第5章得導數1/4。若改在 a=0，定義域只給 h>0，右差商 √h/h=1/√h 隨 h→0⁺ 無上界，因此連有限的右導數也不存在。兩個位置不能用同一個內點公式代入。
7.3 練習
- B06-C07-Q01 用差商求常數函數 f(x)=5 的導數。
- B06-C07-Q02 求 f(x)=x² 在 a=2 的導數及切線方程。
- B06-C07-Q03 用差商求 f(x)=3x−7 在任意 a 的導數。
- B06-C07-Q04 用差商求 x³ 在 x=1 的導數。
- B06-C07-Q05 f(x)=|x−2| 在2是否可微？比較兩側。
- B06-C07-Q06 左段 x<0 為 x²，右段 x≥0 為2x。判斷0的連續與可微。
- B06-C07-Q07 x≠0 時 f(x)=0，f(0)=1。能否在0可微？不用先算左右導數。
- B06-C07-Q08 s(t)=t²−3t 公尺，0≤t≤5，求 t=3 的瞬時速度。
- B06-C07-Q09 求 √x 在0的右差商，說明是否有有限右導數。
- B06-C07-Q10 x² 在 a=1 取 h=0.01，算差商並與導數比較。
7.4 完整解答
Q01
對任意 a 與 h≠0，分子為5−5=0，商恆為0，故導數0。
Q02
由平方差商 2a+h 得 f′(2)=4，且 f(2)=4。切線 y=4+4(x−2)=4x−4。
Q03
分子為 3(a+h)−7−(3a−7)=3h；h≠0 時差商恆3，所以任意 a 的導數都是3。
Q04
(1+h)³−1=3h+3h²+h³。除以非零 h 得 3+3h+h²，h→0 時趨近3。
Q05
以2為起點，差商為 |h|/h。左側−1、右側1，沒有相同有限極限，故不可微。
Q06
兩側高度極限與點值皆為0，所以連續。左差商 h²/h=h→0；右差商 2h/h=2。斜率不接合，故不可微。
Q07
去心極限0不等於點值1，故不連續。由「可微必連續」的逆否，不能在0可微。
Q08
差商 [s(3+h)−s(3)]/h=3+h，因為分子為 3h+h²。令 h→0，得3公尺／秒。
Q09
h>0 時右差商為1/√h。任給 M>0，0<h<1/M² 即使差商大於 M，故沒有有限右導數。
Q10
差商為2+h=2.01，導數為2。相差0.01；小步長使數值接近，沒有把割線變成同一條切線。