第10章 單調性與中值定理
10.1 閉區間讓極值可達
連續函數在有限閉區間 [a,b] 有最大值與最小值。理由可追到實數完備性：區間內任一數列，可反覆二分並保留有無窮多項落入的閉半段。巢狀區間長度趨近零，取左端點的上確界得到共同點；選取下標依序增大的項，便有收斂到該點的子列。共同點仍在 [a,b]。
若 f 無上界，可挑 f(xₙ)>n，取 xₙ 的收斂子列後，連續性卻要求函數值趨近有限點值，矛盾。故上確界 S 有限；再選 f(xₙ)>S−1/n，用同樣的子列與連續性，得到某點的值正好是 S。對 −f 使用此論證得到最小值。這解釋了為什麼只在開區間有界不夠保證取到極值。
10.2 由內點極值到中值定理
若 f 在內點 c 可微且 c 是局部最大點，則小增量的分子 f(c+h)−f(c)≤0。右差商非正，左差商非負；若兩者收斂到同一值，只能是0。局部最小同理。這是必要條件；導數為0不保證極值。
羅爾定理要求 f 在 [a,b] 連續、在 (a,b) 可微、a<b，且 f(a)=f(b)。若函數常數，任一內點斜率0；若不常數，至少有一個極值嚴格異於端點值，因而在內點取得。由上段得某 c∈(a,b) 使 f′(c)=0。
微分中值定理要求 a<b，f 在 [a,b] 連續且在 (a,b) 可微。端點可以取不同函數值。令 m=[f(b)−f(a)]/(b−a)，減去割線：g(x)=f(x)−f(a)−m(x−a)。g 連續、可微且兩端皆0，由羅爾定理得到 g′(c)=0，即 f′(c)=m。它不要求端點可微，也不保證 c 唯一。
10.3 四個例題
例題1 找到與割線平行的切線
f(x)=x² 在 [1,3] 滿足中值定理。割線斜率 (9−1)/(3−1)=4，解 2c=4 得 c=2，確在開區間。割線 y=4x−3，切線 y=4x−4；平行不代表重合。
例題2 用導數符號判單調區間
f(x)=x³−3x，f′(x)=3(x−1)(x+1)。在 x<−1 或 x>1 為正，在 −1<x<1 為負。在 [−2,−1] 或 [1,2] 各取兩點，用中值定理得後值大於前值；在 [−1,1] 同理得嚴格減少。端點可以納入比較，因中值點在兩選點之間，不必讓端點斜率非零。
例題3 有平均斜率卻找不到中值點
f(x)=|x| 在 [−1,1] 連續，端點同值1，平均斜率0。兩側導數是−1和1，0點不可微，沒有 c 使 f′(c)=0。這不違反定理，因開區間可微的條件已經失敗。
例題4 不知道中值點也能估變化量
若 f 在 [2,2.2] 連續、內部可微，且 |f′(x)|≤3，則某內點 c 使 f(2.2)−f(2)=0.2 f′(c)。取絕對值得變化量不超過0.6。估界只要控制整段斜率，不必解出 c。
10.4 練習
- B06-C10-Q01 對 x² 在 [0,4]，求平均斜率與中值點。
- B06-C10-Q02 對 x³ 在 [−1,1]，找所有符合中值定理等式的 c。
- B06-C10-Q03 對 x²−4x 在 [0,4]，用羅爾定理並找 c。
- B06-C10-Q04 若 f 在一個開區間上可微且 f′ 恆為0，證明 f 為常數。
- B06-C10-Q05 x³ 在0的導數是0。是否仍可嚴格遞增？給出理由。
- B06-C10-Q06 x<0 取 x，x>0 取 x−10。導數都為正，能否說在整個定義域嚴格增加？
- B06-C10-Q07 在 0<x<1 取 f(x)=x，且 f(0)=f(1)=0。羅爾定理的哪個條件失敗？
- B06-C10-Q08 f 在長度3的閉區間連續、內部可微，|f′|≤0.4。兩端值的差之絕對值至多多少？
- B06-C10-Q09 f 在開區間可微且 f′≥0，可推出不減嗎？可推出嚴格增加嗎？
- B06-C10-Q10 f(x)=2x−x² 在 [0,2]。判斷單調區間，並找端點割線的中值點。
10.5 完整解答
Q01
平均斜率 (16−0)/4=4。函數連續且可微，解 f′(c)=2c=4 得 c=2，在 (0,4)。
Q02
平均斜率 [1−(−1)]/2=1。解 3c²=1 得 c=±1/√3，兩個都在 (−1,1)。定理只保證存在，這題有兩個。
Q03
多項式符合連續與可微，兩端均為0。由羅爾定理有 f′(c)=0，解 2c−4=0 得 c=2。
Q04
任取區間內 x<y，限制到 [x,y] 滿足中值定理。f(y)−f(x)=(y−x)f′(c)=0，故任兩點值相同。
Q05
可以。任 a<b，b³−a³=(b−a)(b²+ab+a²)。後因子等於 (b+a/2)²+3a²/4，除 a=b=0 外皆正；a<b 排除該情形，故差為正。
Q06
不能。取 −1<1，f(−1)=−1 但 f(1)=−9。兩點間跨過缺失的0，不能在整段 [−1,1] 使用中值定理。
Q07
f 在1不連續：左極限1，點值0。雖端點同高、內部導數皆為1，閉區間連續失敗，所以無法推出某處斜率0。
Q08
中值定理給端點差等於3乘某內點導數。取絕對值，至多3·0.4=1.2。
Q09
任 x<y，中值定理給 f(y)−f(x)=(y−x)f′(c)≥0，所以不減。常數函數也滿足 f′≥0，嚴格增加不能保證。
Q10
f′(x)=2−2x，故在 [0,1] 嚴格增加、[1,2] 嚴格減少。兩端 f=0，平均斜率0；f′(c)=0 得 c=1。