有限variance IID的CLT資格與格點audit

目標與範圍

清楚區分finite-n moments與named CLT應用。

CLT為明示named theorem前提；不宣稱此處完整證明。

已知條件與符號

• work

• G1 — 在一個已給定機率空間上，(X_i)_{i≥1}為無限IID序列，對任意有限不同indices的joint law都因子分解為Bernoulli(1/2)的乘積。此為全序列前提，不從有限資料估出。

• S_n — 部分和
• Z_n — 正確標準化
• Φ — standard normal CDF

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 明示無限IID process certificate、共同finite law、mu與0<sigma^2<infinity。令S_n=sum_{i=1}^n X_i，標準化Z_n=(S_n-n*mu)/(sigma*sqrt(n))，則對標準常態CDF的連續點z有P(Z_n≤z)→Phi(z)。exact families完整重算finite law moments、Z_n的mean 0／variance 1與Bernoulli sum lattice；另有完整hypotheses-to-named-theorem symbolic application。有限binomial table不是normal approximation或convergence evidence；non-IID只表示本定理不可套用，zero variance使標準化失效，wrong scaling與finite histogram均不得冒充CLT。 · mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid
• work · prerequisite — 明示named theorem前提：無限IID且0<σ²<∞時，中心化和除σ√n依分布收斂到standard normal；另假設獨立variance加法與binomial law。

逐步主鏈

X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(1/2)

\mu=1/2,\quad\sigma^2=1/4\in(0,\infty)

S_n=\sum_{i=1}^nX_i

E[S_n]=n/2,\quad\operatorname{Var}(S_n)=n/4

Z_n=(S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt n)

Z_n=\frac{S_n-n/2}{\sqrt n/2}

E[Z_n],\quad\operatorname{Var}(Z_n)

E[Z_n]=0,\quad\operatorname{Var}(Z_n)=\frac{n/4}{n/4}=1

n=4,\quad k\in\{0,1,2,3,4\}

P(S_4=k)=\binom4k/16=(1,4,6,4,1)_k/16

Z_4=S_4-2

Z_4\in\{-2,-1,0,1,2\},\quad P(Z_4=0)=3/8

\text{infinite IID},\ E[X_i]=\mu,\ 0<\sigma^2<\infty

\forall z\in\mathbb R:\lim_{n\to\infty}P(Z_n\le z)=\Phi(z)\quad\text{(named CLT)}

P(Z_4=0)=3/8,\quad P(Z=0)=0\ (Z\sim N(0,1))

Z_n\Rightarrow N(0,1),\quad Z_4\not\sim N(0,1)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 未給normal approximation誤差率，也未形式化CLT證明。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 這個極限來自named theorem，不來自五格點表。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — standard normal無原子，所以不可能exact normal。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 係數總和16來自四次Bernoulli乘積。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 矩為0、1不會單獨識別normal law。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 不是n/2；中心也必須扣n/2。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — variance加法依已宣告的全序列獨立。
• S01 · premise_audit · G1, work — 零variance會使標準化失效，不能省正性。

錯誤控制與反例

前提層次

無限IID明列為前提，不把token當構造證明。

非退化與scale

σ²=1/4>0且分母σ√n；finite-n表保留離散性。

• n=4的五點law就是normal。 → reject — 它在0有3/8原子，而normal單點質量零。
• 分母用nσ也給variance1。 → reject — 會得1/n而不是1。
• 格點表驗過即證CLT。 → reject — finite-n資料不給無限CDF極限；此處依named theorem。

結論與限制

named CLT條件成立，故Z_n⇒N(0,1)；n=4的格點audit不證極限且不exact normal。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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