平方偏差的Chebyshev推導

目標與範圍

由Markov證Chebyshev並算exact例。

有限完整law；不需independence。

已知條件與符號

• work

• G1 — X取-2、0、2，質量1/4、1/2、1/4；epsilon=1。

• μ — 此law的mean
• Y — 平方偏差
• ε — 正門檻

規則與來源

• mko_definition · cited — epsilon>0且mean、variance有限。事件|X-mu|>=epsilon等同(X-mu)^2>=epsilon^2，對非負squared deviation套Markov。上界不等於actual tail，不需要independence；zero mass atoms與zero variance按a.s.語義處理。 · mko-chebyshev-inequality
• work · prerequisite — Markov為已知前提：非負Y且a>0時P(Y≥a)≤E[Y]/a；variance定義為中心二次矩。

逐步主鏈

1/4+1/2+1/4=1

\mu=E[X]=-2/4+2/4=0

Y=(X-\mu)^2

Y\in\{4,0,4\},\quad Y\ge0

E[Y]=4/4+0/2+4/4

\operatorname{Var}(X)=E[Y]=2

\varepsilon>0

|X-\mu|\ge\varepsilon\iff Y\ge\varepsilon^2

P(Y\ge\varepsilon^2)\le E[Y]/\varepsilon^2

P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\operatorname{Var}(X)/\varepsilon^2

\varepsilon=1

\operatorname{Var}(X)/\varepsilon^2=2

\{|X|\ge1\}=\{-2,2\}

P(|X|\ge1)=1/2\le2

\varepsilon=2

P(|X|\ge2)=1/2=2/2^2

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 這只是本law的等號例，不把等號推成一般事實。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 中間0不在tail，端點事件採≥。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 若需要機率範圍可另取min(1,2)，不可宣稱tail=2。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — Markov前提Y≥0與有限期望均已建立。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — epsilon須正，否則除epsilon平方失去資格。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 中心為μ=0，不是觀測值或其他law的mean。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — Y的質量仍來自原X law。
• S01 · premise_audit · G1, work — 負值本身不妨礙Chebyshev，後面平方才套Markov。

錯誤控制與反例

平方事件

先證|X-μ|≥ε與Y≥ε²等價再套Markov。

同law中心

mean、Y與variance全部使用同一完整law。

• Chebyshev需要多個變數互相獨立。 → reject — 此推導只用一個X的二次矩。
• 本例tail=2。 → reject — 2是鬆上界，tail為1/2。
• epsilon=0可照用公式。 → reject — 分母epsilon平方不得零。

結論與限制

Chebyshev由平方偏差的Markov界得到；epsilon=1的exact tail為1/2。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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