逐參數coverage、平均與selection

目標與範圍

完整計算固定區間程序的pointwise及worst-case coverage。

頻率coverage非觀察後posterior；selection須重新納入。

已知條件與符號

• work

• G1 — Θ={0,1}，Ω={a,b,c}，P0=(1/2,1/4,1/4)，P1=(1/4,1/4,1/2)。預先固定I(a)=[0,0]、I(b)=[0,1]、I(c)=[0,0]。

• I(x) — 預先固定區間程序
• C(θ) — 逐參數coverage
• A — selection事件

規則與來源

• mko_definition · cited — 完整finite parametric laws逐theta normalized；procedure I(x)=[L(x),U(x)]在全部sample上total、預先固定、不依未知theta，且逐x有L≤U。逐參數coverage為sum_x P_theta(x)1{L(x)≤theta≤U(x)}，worst-case coverage是有限theta集合上的minimum。average-only boundary須明示至少兩個不同pointwise coverages及target，使average≥target而minimum<target；posterior probability不是coverage。selection若已納入完整procedure可重新計算，錯誤在忽略selection仍沿用舊coverage。 · mko-finite-confidence-interval-coverage
• work · prerequisite — C(theta)=sum_x Ptheta(x)1{L(x)≤theta≤U(x)}；worst case取min；正質量selection條件機率為intersection商。

逐步主鏈

P_0,P_1

1/2+1/4+1/4=1,\quad1/4+1/4+1/2=1

I(a),I(b),I(c)

L(x)\le U(x)\quad\text{for all }x\in\Omega

\theta=0:\quad\mathbf1\{0\in I(x)\}

(1,1,1),\quad C(0)=1

\theta=1:\quad\mathbf1\{1\in I(x)\}

(0,1,0),\quad C(1)=P_1(b)=1/4

\min_{\theta\in\Theta}C(\theta)

\min(1,1/4)=1/4

\overline C=(C(0)+C(1))/2,\quad q=1/2

\overline C=5/8\ge1/2>1/4=\min C

A=\{a,b\}\text{ selected},\quad\theta=1

P_1(1\in I(X)\mid A)=\frac{P_1(b)}{P_1(a)+P_1(b)}=1/2

x_{\rm obs}=b,\quad I(b)=[0,1]

\mathbf1\{\theta\in I(b)\}=1\quad(\theta=0,1)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — posterior需要prior與資料更新；本例未供prior。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — selection分母1/2正；零選中質量則條件coverage未定義。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 此平均只是指定均權摘要，不是自動頻率保證或prior。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 兩個theta都已完整計算。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 即使 P_0(b) 與 P_1(b) 數值相同，也不能因此混淆 law 的角色；此處必須使用 P_1(b)。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 端點等號必須包含。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — 兩個單點區間[0,0]合法。
• S01 · premise_audit · G1, work — 不能依真theta另換區間程序。

錯誤控制與反例

完整程序

a、b、c區間先固定再對兩law加權。

selection重算

選後分子、分母都在同theta law計算。

• 平均5/8故每theta coverage≥1/2。 → reject — theta=1的coverage只有1/4。
• 選中a、b後coverage仍1/4。 → reject — theta=1的conditional coverage重新算為1/2。
• 觀察b後theta在I(b)的posterior機率是1/4。 → reject — I(b)包含全部Θ，任何合法posterior都給1；原1/4是程序pointwise coverage。

結論與限制

C(0)=1、C(1)=1/4，worst case1/4；平均5/8不給1/2的全參數保證。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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