全部交換rows認證群中心

目標與範圍

Z(G)={e}，直接驗subgroup及normal；G非abelian，r雖與自身交換卻不central。

完整六乘六commutation table、閉性與全共軛；不宣稱characteristic或class equation。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• T,F — 完整交換測試的真偽
• Z(G) — 所有全T rows的元素

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — 由完整 Cayley table 建立每個候選元素對所有 g 的 commutation row，Z(G) 是所有 row 全真者。需直接驗 identity、product、inverse closure 形成 subgroup，再對所有 g,z 驗 gzg^{-1} 仍在 Z(G) 以證 normal。z 的共軛類為單元素集，當且僅當 z∈Z(G)；Z(G)=G，當且僅當 G 為交換群。中心的定義要求與每個群元素交換，不能一般地用單一元素的 centralizer 取代；特定群中兩個集合可能相等。本輪不宣稱 characteristic 或 class equation。 · mko-finite-group-center

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

z,g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

\begin{array}{c|cccccc}gx=xg&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&T&T&T&T&T&T\\r&T&T&T&F&F&F\\r^2&T&T&T&F&F&F\\s&T&F&F&T&F&F\\rs&T&F&F&F&T&F\\r^2s&T&F&F&F&F&T\\\end{array}

Z(G)=\{z:\ zg=gz\ \forall g\in G\}

Z(G)=\{e\}

Z=\{e\}

e\in Z,\quad ee=e\in Z,\quad e^{-1}=e\in Z\Rightarrow Z\le G

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s,\quad z=e

geg^{-1}=e,e,e,e,e,e\text{ respectively}\Rightarrow Z\trianglelefteq G

gxg^{-1}=x\ \forall g

gx=xg\ \forall g\iff x\in Z(G)\iff\operatorname{Cl}(x)=\{x\}

rs\ne sr=r^2s

G\text{ not abelian};\quad Z(G)\ne G;\quad Z(G)=G\iff G\text{ abelian}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S01, S03, S04, S07 — 只與固定r交換的集合{e,r,r²}比中心大，不能把單元素centralizer當Z(G)。
• S07 · inverse_equivalence · G1, S02, S03, S04 — 不需要class-size公式或class equation，只用全稱交換定義。
• S06 · premise_audit · G1, S02, S04, S05 — normal與subgroup是兩層核對，前一步不能單獨代替此步。
• S05 · premise_audit · G1, S02, S04 — 中心子群性不是從名稱跳過，完整有限責任已滿足。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — r-row對e、r、r²為T仍不足，對s為F已否證central。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — T必來自同表兩個product相等，不是只看某一個g。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• r與r交換，所以r central。 → reject — r與s不交換，central要求全部g。
• Z(G)={e,r,r²}。 → reject — 這是與r交換的集合；r、r²皆不與s交換。
• 群有限便abelian。 → reject — 此完整六元素表有rs≠sr。

結論與限制

Z(G)={e}，直接驗subgroup及normal；G非abelian，r雖與自身交換卻不central。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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