四次多項式的全部導數階

目標與範圍

由低到高係數 [2,-3,0,5,-2] 計算所有階導數。

完整多項式；不推一般光滑函數的解析性。

已知條件與符號

• polynomial
• algebra
• definition_here

• G1 — f(x)=2-3x+5x^3-2x^4，定義域 R，階數 k∈N_0。

• f^{(k)} — 第 k 階導數
• c_j — 低到高多項式係數

規則與來源

• mko_definition · cited — n∈N_0且每一中間階都須在宣告domain可再微分。存在第n階不推出第n+1階。多項式exact family用falling-factorial coefficients；order超過degree後為zero。高階導數存在不推出analytic或Taylor series convergence。 · mko-higher-order-derivative
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• definition_here · prerequisite — 零階導數是原函數；第 k+1 階是第 k 階函數在宣告域內的導數，須該導數存在。

逐步主鏈

f^{(0)}

f^{(0)}(x)=f(x)=2-3x+5x^3-2x^4

(f^{(0)})'

f'(x)=-3+15x^2-8x^3

(f')'

f''(x)=30x-24x^2

(f'')'

f^{(3)}(x)=30-48x

(f^{(3)})'

f^{(4)}(x)=-48

(f^{(4)})'=0

f^{(k)}=0\quad\forall k\ge5

f''(2)=30\cdot2-24\cdot2^2

f''(2)=-36

f(x)=\sum_{j=0}^{4}c_jx^j

f^{(k)}(x)=\sum_{j=k}^{4}c_j\frac{j!}{(j-k)!}x^{j-k}\ (0\le k\le4)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S02, S06 — j≥k 才使用 (j-k)!，不引入負 factorial。
• S07 · inverse_equivalence · S03 — 二次冪作用在 2 上，未將 24 也平方。
• S06 · premise_audit · S05 — 此結論依完整多項式，而不是一般第 k 階存在推出下一階。
• S05 · premise_audit · S04 — 上一階全域存在，才可談其導數。
• S04 · premise_audit · S03 — 係數 24 乘指數 2 得 48。
• S03 · premise_audit · S02 — -3 的導數為零。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 每個中間結果仍是多項式，下一階可微前提成立。
• S01 · premise_audit · G1 — 不能把零階誤作零函數。

錯誤控制與反例

中間階

每階以前一階多項式可微為依據。

階數零與超次數

零階回 f，超過 degree 才為零。

• 零階導數是 0。 → reject — 定義為原函數 f。
• f''(2)=60-48。 → reject — 第二項是 -24*2^2=-96。
• 此 f 的第五階導數是常數 1。 → reject — 第四階是常數 -48，其導數為零，所有更高階也零。

結論與限制

一至四階如列，五階以上皆零，二階在 2 為 -36。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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