從原覆蓋索引選取子覆蓋

目標與範圍

核對 K={a,b} 的指定開覆蓋與子覆蓋索引。

只核這個覆蓋，不以單一成功推出一般緊緻性。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}，tau=全部 X 的子集；K={a,b}。
• G2 — 有序族 U_1={a}、U_2={b}、U_3={a,b}、U_4={c}。原始選取索引 (3,3) 正規化為 {3}。

• K — 覆蓋目標
• U_i — 原覆蓋成員
• I — 正規化索引集

規則與來源

• mko_definition · cited — 完整核每個成員為開集、目標包含與選取索引。某一供給覆蓋有有限子覆蓋只證該覆蓋，不證空間緊緻。 · mko-open-cover-and-subcover
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 開覆蓋各成員開且聯集包含目標；子覆蓋取自原索引子集且仍覆蓋同一目標。

逐步主鏈

\tau=\mathcal P(X)

\tau=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}

i\in\{1,2,3,4\}

U_i\in\tau

\bigcup_{i=1}^4 U_i

\{a\}\cup\{b\}\cup\{a,b\}\cup\{c\}=X

(3,3)

I=\{3\}\subseteq\{1,2,3,4\}

\bigcup_{i\in I}U_i

U_3=\{a,b\}=K

I=\{3\},\quad K\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i

(U_i)_{i\in I}\text{ is a finite open subcover}

J=\{1\}

\bigcup_{i\in J}U_i=\{a\}\not\supseteq K

\exists I\text{ finite for this supplied cover}

\text{this supplied cover has a finite subcover}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S06 — 沒有把存在一個成功選取反轉成對所有覆蓋的證明。
• S07 · premise_audit · G1, G2 — 失敗原因是缺 b，不是 U_1 不開。
• S06 · premise_audit · S02, S04, S05 — 需要開性、來源索引與覆蓋三件事，先前步驟各自提供。
• S05 · inverse_equivalence · G1, G2, S04 — 將正規化後索引回讀原族而不是直接憑目標造一個集合。
• S04 · premise_audit · G2 — 索引 3 存在於原族；沒有加入新集合。
• S03 · premise_audit · G2 — 覆蓋目標只需 K 包含於聯集，不需恰等。
• S02 · premise_audit · G1, G2, S01 — 開覆蓋不要求每個成員包含於 K，也不要求每個都必要。
• S01 · premise_audit · G1 — 不是把供給的四個覆蓋成員當完整拓撲。

錯誤控制與反例

索引溯源

每次選取都由原有序族讀回成員。

量詞不升格

一次子覆蓋成功與每個開覆蓋均成功分開。

• 選 {a,b,c} 也算原覆蓋的子覆蓋。 → reject — X 雖然開但不在原族中，子覆蓋不能新增成員。
• {1} 覆蓋 K。 → reject — 聯集漏掉 b。
• 這一次成功已證所有空間緊緻。 → reject — 只核一個供給覆蓋，沒有全稱量詞。

結論與限制

{3} 是合法有限子覆蓋索引，而 {1} 不是。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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