三點域的精確上確界誤差

目標與範圍

證 g_n(a)=1/(n+2),g_n(b)=-4/(n+2),g_n(c)=2/(n+2) 一致趨零。

完整有限域及全 n≥0 的有理尾項；N 不得依 x。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• definition_here

• G1 — D={a,b,c}, g=0；三個公式對每個 n≥0 定義全部 g_n:D→R。

• E_n — 全域上確界誤差
• N — 共同尾端索引

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 使用有限domain及symbolic rational tails。逐點witness取有限最大值得該有限domain的一致witness；不可外推無限domain。另以sup gap與全稱tail核對，finite prefix不足。 · mko-uniform-convergence-of-functions
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• definition_here · prerequisite — 非空有限實數集合的 sup 是其最大值；一致收斂：每個正 epsilon 有一個共同 N，使全部 n≥N 及全部 x 的誤差小於 epsilon。

逐步主鏈

n\ge0

n+2>0

(|g_n(a)|,|g_n(b)|,|g_n(c)|)

(1,4,2)/(n+2)

E_n=\sup_{x\in D}|g_n(x)-g(x)|

E_n=\max\{1,4,2\}/(n+2)=4/(n+2)

\varepsilon>0,\quad N=\lfloor4/\varepsilon\rfloor+1

N>4/\varepsilon

n\ge N

|g_n(x)|\le E_n=4/(n+2)<\varepsilon\quad\forall x\in D

\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N\ \forall x\in D

g_n\to0\text{ uniformly on }D

N_x=\lfloor |c_x|/\varepsilon\rfloor+1,\quad(c_a,c_b,c_c)=(1,-4,2)

\max_{x\in D}N_x=\lfloor4/\varepsilon\rfloor+1=N

\varepsilon=1/10,\quad N=41

E_n\le4/43<1/10\quad(n\ge41)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S04, S05 — 此數值核對沒有取代量化所有 epsilon 的證明。
• S07 · premise_audit · G1 — 最大存在是因域完整且有限。
• S06 · premise_audit · S05 — 不能改成先給 x 才選 N 來證一般一致收斂。
• S05 · premise_audit · S03, S04 — 對所有 n≥N 而非僅 n=N。
• S04 · premise_audit · S03 — N 的公式沒有 x。
• S03 · premise_audit · S02 — 不是只用若干點的最大值估未知無限域。
• S02 · inverse_equivalence · G1, S01 — 有號最大值不是絕對誤差最大值。
• S01 · premise_audit · G1 — 共同 n 與共同域保持不變。

錯誤控制與反例

先取絕對值

先列各點誤差，才求最大值。

共同索引

N 只依 epsilon，並涵蓋全部後續 n。

• sup 誤差是 2/(n+2)。 → reject — 漏掉 b 的絕對誤差。
• N 可以依點 x 而不需共同上界。 → reject — 那只是逐點量詞。
• 有限網格 sup 必等於整個連續區間 sup。 → reject — 例如 h(x)=x(1-x) 在網格 {0,1} 最大值 0，但在 [0,1] 的 x=1/2 取值 1/4。

結論與限制

sup 誤差恰為 4/(n+2)，共同 N=floor(4/epsilon)+1 證一致收斂。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• adopted source SHA-256: 1a3da85dbb40310b278c7800673a12807c5d786870d07ca8dc757999c5f695d4
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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