實數列Bolzano－Weierstrass定理

數學敘述

bounded須為exists M forall n；subsequence index genuinely strictly increasing且無限，並有forall-tail epsilon witness。週期列與oscillatory rational tails提供exact slices。有限prefix/cluster search不足；定理不保證原數列收斂或limit unique。

代表公式（精確 TeX）

a_k\to L

成立條件

• 主families使用完整periodic law或symbolic oscillatory tail。
• epsilon為正有理且subsequence index為affine strictly increasing。

符號作用域

• a_k — 收斂子數列
• L — 子數列極限

直觀、定義與常見誤解

whole sequence boundedness不可由prefix取代。

subsequence index須infinite且strict。

只保證某個convergent subsequence。

有限觀察到重複值便宣稱一般BW theorem已證。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 子數列 — 嚴格遞增索引。
• 數列極限與精確尾界 — epsilon tail。
• 實數 — bounded sequence carrier。
• 上確界與下確界 — 存在性支撐。

驗證界線

exact題族只證明宣告symbolic sequences。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入sequential compactness。

同源結構化資料

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