Catalan數

數學敘述

C_(n+1)=sum_{i=0}^n C_i C_(n-i)；C_n=binomial(2n,n)/(n+1)=binomial(2n,n)-binomial(2n,n+1)。division前必須驗(n+1)整除binomial(2n,n)，不可依integer truncation。domain n≥0且不可混用C_0/C_1 index convention。

代表公式（精確 TeX）

C_n

成立條件

• n為bounded nonnegative safe integer。
• closed-form以BigInt exact arithmetic及remainder-zero certificate。

符號作用域

• C_n — zero-based Catalan數

直觀、定義與常見誤解

base C_0=1。

recurrence sums all splits。

closed forms需exact divisibility與cross-check。

從C_1起算卻沿用C_0公式，或用truncated division。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 遞迴關係 — Catalan convolution。
• 二項式定理 — closed form coefficients。
• 基本計數原理 — combinatorial enumeration。
• 自然數整除 — closed-form integrality。

驗證界線

負index不在domain；本輪不自動宣稱所有Catalan combinatorial bijections。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入analytic generating function。

同源結構化資料

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