緊緻集的連續像

數學敘述

對f(K)的ambient-open cover取逆像，continuity使逆像open且覆蓋K；K的finite subcover再推回覆蓋f(K)。不需要injective或surjective。compact image不反推domain compact；compact preimage或image closed也各需額外假設（後者常需Hausdorff）。

代表公式（精確 TeX）

C(f(K))

成立條件

• 正向families使用完整有限來源與目標拓撲、total map及完整open covers。
• K採subspace compactness；cover sets屬target topology。

符號作用域

• C — 緊緻性述詞
• f — 連續全函數
• K — 緊緻子集

直觀、定義與常見誤解

image cover拉回為K的open cover。

finite subcover indices原樣推回target cover。

定理只有forward direction。

由image compact反推domain compact，或無Hausdorff假設就稱image closed。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 緊緻子集 — source compactness。
• 拓撲連續映射 — open-preimage property。
• 函數映射 — total image/preimage。

驗證界線

finite positive certificates不外推所有infinite topology；反例另以standard open interval constant map表達。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Hausdorff closedness與quotient topology。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。