凸集合

數學敘述

實向量空間子集C為凸，若對所有x,y∈C及所有lambda∈[0,1]，lambda x+(1-lambda)y仍屬C。本輪正例只用區間、盒與半空間的完整代數證書；單一精確反例可否證凸性。

代表公式（精確 TeX）

K(C)

成立條件

• 只處理非空閉區間、非空軸對齊盒、閉半空間與明示有限點集反例。
• 有限lambda抽樣不能證凸；有限點集反例失敗也不能反向證明該集合凸。

符號作用域

• K — 凸性證書或反例
• C — 實向量空間子集

直觀、定義與常見誤解

區間與盒由逐座標上下界證書處理所有lambda。

半空間由線性不等式對凸組合封閉。

若集合含兩端點卻不含其中點，一個midpoint witness即足以否證。

檢查幾個lambda就宣稱凸，或找不到一個反例便宣稱凸。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限凸組合 — 兩點凸組合描述線段。
• 子集合 — 凸集合是實向量空間的子集。
• 實向量空間 — 線段運算依賴向量加法與純量乘法。

驗證界線

正例需全稱代數證書；反例失敗不構成正證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入凸函數、凸包與凸最佳化。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。