離散指數成長模型

數學敘述

固定一個時間步與非負常數因子 r，離散指數模型由 x_(n+1)=r x_n 定義。給初值 x_0，反覆代入或歸納得到 x_n=x_0 r^n；這是指定模型的代數結果，不是資料自動符合模型的證明。

代表公式（精確 TeX）

x(n+1)=M(r,x(n))

成立條件

• 時間步固定且 n 從 0 起算；r 在整段期間保持不變。
• 題庫採精確有理初值與非負有理因子；不把它當連續時間模型或生物族群實測預測。

符號作用域

• x — 模型量
• n — 時間步索引
• r — 固定每步因子

直觀、定義與常見誤解

r>1 表示每步倍增，r=1 表示因子不變，0≤r<1 表示每步縮放；初值為零時序列仍全為零。

遞迴式與閉式的等價可以逐步重算並以自然數歸納證明。

真實生物系統可能受資源、隨機性、時間變動與量測誤差影響；固定 r 模型本身不證適配性。

看到幾期成長就假設固定因子永遠不變，或把離散因子直接當連續成長率。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 數列 — 離散狀態依自然數時間排列。
• 自然數冪與主平方根 — 閉式使用 r 的自然數次冪。
• 四則運算 — 遞迴逐步乘以固定因子。

驗證界線

本輪只核對固定步長、固定非負因子的精確離散模型；不是經驗預測。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

建立 logistic 模型、時間變動因子、模型校準與殘差。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。