有限乘積拓撲

數學敘述

二因子finite models先驗每個factor topology，再建立完整Cartesian carrier與全部U×V basic rectangles，取任意聯集生成product topology。投影preimages必為open；對有限source Z，map z↦(f(z),g(z))連續恰當兩個coordinate maps連續。有限乘積與box topology相同，不能把這點外推到無限乘積；任意一族rectangles本身通常不是完整topology。

代表公式（精確 TeX）

P(X,Y)=t

成立條件

• 本節finite product限制至少一個因子；exact題族固定兩個非空factor，不主張零因子product convention。
• 兩個factor carrier有限且topology包含空集與全體並對任意聯集、有限交封閉。
• ordered pairs、rectangles與set-of-sets均以extensional canonical form核對。

符號作用域

• P — 有限乘積拓撲算子
• X — 第一拓撲空間
• Y — 第二拓撲空間
• t — 乘積拓撲

直觀、定義與常見誤解

factor topology與Cartesian carrier資格先核。

rectangle basis須再對任意聯集封閉。

projection與coordinate criterion只在完整生成拓撲上核對。

把basic rectangles直接當全部opens，或因有限情形而宣稱無限product等於box topology。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 拓撲基底 — open rectangles生成拓撲。
• 拓撲空間 — factor與product axioms。
• 集合運算 — Cartesian carrier、聯集與交集。
• 二元關係與集合投影 — ordered-pair carrier與coordinate maps。
• 拓撲連續映射 — projections與coordinate criterion。
• 函數合成 — coordinate maps與universal property。

驗證界線

finite enumeration只證指定空間，不證一般product universal property。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入任意乘積、box topology與Tychonoff邊界。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。