平面座標的基本等距與均勻縮放

數學敘述

在等單位正交實平面，平移 H(x,y)=(x+tx,y+ty)、原點逆時針0／90／180／270度旋轉及關於x軸、y軸、y=x、y=−x的鏡射均為等距映射。均勻縮放 H_c(x,y)=(cx,cy)：c=0 是退化常值映射，|c|=1 是全平面等距，其他非零c是正倍率 |c| 的非等距相似映射。

代表公式（精確 TeX）

H(P)

成立條件

• 定義域與陪域為整個實平面，所有座標、平移與縮放參數的題庫切片為安全整數。
• 旋轉中心固定原點、方向固定逆時針，turns為0至3的四分之一圈次數；鏡射軸須明示。
• 均勻縮放分類是全平面性質，不從某一個重合點或不變點的距離推論全域等距。

符號作用域

• H — 明示的實平面座標映射
• P — 輸入座標點

直觀、定義與常見誤解

90度逆時針送 (x,y) 到 (−y,x)，180度到 (−x,−y)，270度到 (y,−x)，0度是恆等。原點在每一種旋轉下不變，不靠不同角度重複算原點充量。

x軸鏡射為 (x,−y)，y軸為 (−x,y)，y=x為 (y,x)，y=−x為 (−y,−x)。原點中心反演 (−x,−y) 是半轉，不混稱成關於某條軸的鏡射。

均勻縮放使每個距離乘 |c|。c=0不能保持不同兩點的距離，c=−1卻能保持；負係數不是一律不等距。單點恰好不變不代表全平面映射等距。

旋轉方向／中心不明、鏡射軸混用，把負係數當負長度倍率，或從一點不變推論全域等距。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 函數映射 — 映射的整個實平面論域。
• 座標平面 — 固定原點、軸及座標方向。
• 等單位正交座標的歐氏距離 — 全域距離不變的語義。
• 正倍率的標記三角形相似切片 — 分清座標係數與正長度倍率。

驗證界線

明示整數座標切片可重算；一般等距／相似映射及任意旋轉角的形式橋尚未建立。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

在固定版 EuclideanSpace R (Fin 2) 上橋接明示等距、軸鏡射及均勻縮放，不使用普通乘積預設度量。

同源結構化資料

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