內積誘導範數

數學敘述

在同一實內積空間中定義norm(x)=sqrt(<x,x>)。正定性給分離，齊次性給絕對齊次，Cauchy–Schwarz推出三角不等式。本輪以R²正定矩陣精確計算平方範數與恆等式，不以樣本取代全稱證書。

代表公式（精確 TeX）

N(J)

成立條件

• 內積矩陣已通過雙線性、對稱與正定，向量位於同一R²。
• 平方根保持精確符號；Cauchy–Schwarz是全稱證書，不由有限向量樣本建立。

符號作用域

• N — 內積誘導範數
• J — 同一實內積

直觀、定義與常見誤解

平方範數<x,x>先以精確整數計算。

距離平方由<x-y,x-y>給出。

Cauchy–Schwarz與parallelogram identity提供結構核對，但不推出完備。

看到若干向量三角不等式通過就宣稱一般範數，或由內積誘導範數直接叫Hilbert。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實內積空間 — 誘導公式使用同一已認證內積。
• 自然數冪與主平方根 — 範數為自內積的非負平方根。
• 實數大小與順序 — 正定性與Cauchy–Schwarz使用實數順序。

驗證界線

只核明示R²內積矩陣與精確證書；不推出完備或Hilbert。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

與完備性共同加入實Hilbert空間。

同源結構化資料

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