全變異數公式

數學敘述

Var(X)=E[Var(X|G)]+Var(E[X|G])。partition cells兩兩不交、非空且union為全部outcomes；zero-mass cell仍是含零質量outcomes的非空事件。同一cell conditional mean與variance使用同一law；positive-mass cell才可除法。zero-mass cell條件值只a.s.決定，外層加權貢獻為0。within與between不可交換或漏項，不要求partition events independent。

代表公式（精確 TeX）

V(X)=E(V(X\mid G))+V(E(X\mid G))

成立條件

• 完整正規化有限law、exact values與由非空cells組成的完整disjoint partition。
• G由該partition生成；zero-mass cells不做conditional division。

符號作用域

• V — 變異數算子
• X — 有限隨機變數
• E — 期望算子
• G — partition生成的sigma-algebra

直觀、定義與常見誤解

partition cells非空；zero-mass指cell含有outcomes但其總機率為0。

within term平均cell variances。

between term計算cell means的variance，且zero-mass cell不影響兩個outer terms。

以empty cell冒充zero-mass event、漏掉between term、交換兩項語義或除以0。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 全期望公式 — tower identity。
• 有限機率模型的變異數 — global/cell variance。
• 有限條件期望 — cell means。

驗證界線

本輪限完整有限law；一般conditional variance需measure-theoretic證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入bias-variance decomposition。

同源結構化資料

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