仿射函數與一次函數

數學敘述

對 m、b∈R，f:R→R 由 f(x)=mx+b 定義為仿射函數。當 m≠0 時多項式次數為一；m=0 時為常數函數。線性代數中的 R 線性映射另要求 b=0，不能與初等教材的 linear function 稱呼混同。

代表公式（精確 TeX）

f:R\to R

成立條件

• 函數的定義域與陪域固定為 R，m、b 是實常數。
• 兩點斜率只在 x_1≠x_2 時定義；單點比較只主張該點輸出相同。

符號作用域

• f — 實仿射函數
• R — 實數定義域與陪域

直觀、定義與常見誤解

m 是每一單位輸入變化對應的輸出變化，b=f(0)。兩個不同橫座標的圖形點給出 m=(y_2−y_1)/(x_2−x_1)，不能對垂直線除以零。

m≠0 時零點唯一為 −b/m；m=0、b=0 時所有實數皆為零點，m=0、b≠0 時無零點。常數函數仍屬仿射族，但不稱次數一的函數。

若比較 f(x_0) 與 g(x_0)，輸出相等僅是單點事實。全實數域上兩個仿射函數相同當且僅當其斜率與截距都相同；本輪題族的單點問題不可擴張成全域相等。

把所有 mx+b 都叫一次函數，或把帶非零截距的仿射函數當成線性代數的線性映射。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 函數映射 — 輸入、輸出及全域函數身份需明示。
• 一元一次方程式 — m≠0 時零點由一次方程式求得。

驗證界線

整數係數與兩點有理斜率可精確重算；全域仿射結構與線性映射橋仍待形式化。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 R 上仿射函數、m≠0 一次性、常數退化零點集與線性代數同質性邊界。

同源結構化資料

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