線性規劃標準形

數學敘述

A為m×n exact rational matrix，b∈R^m、c∈R^n，decision x∈R^n。資格先核dimensions與sign convention。Ax≤b以nonnegative slack s=b-Ax轉為Ax+s=b，並在原點與slack點間雙向保存feasibility及objective c^Tx。unrestricted variable以x=x^+-x^-、x^±≥0 split；≥ constraint乘-1，equality可拆成兩個≤，minimize可negate objective。轉換不證原問題feasible、bounded或存在optimal solution，也不混用另一套standard-form convention。

代表公式（精確 TeX）

L(A,b,c)=z

成立條件

• 所有matrix/vector/points為bounded exact rationals。
• 題幹與輸出始終固定maximize/≤/nonnegative convention。

符號作用域

• L — 線性規劃標準形
• A — 限制矩陣
• b — 右端向量
• c — 目標向量
• z — 目標值

直觀、定義與常見誤解

唯一convention避免standard-form歧義。

slack conversion附雙向point mapping。

unrestricted、≥、equality與minimize分別明示conversion。

混用maximize/minimize或≤/≥ convention，或把conversion誤當feasibility/optimality證明。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 線性規劃 — objective與constraints。
• 有限矩陣的尺寸、索引與轉置 — A與matrix-vector product。
• 二元聯立一次方程組與退化邊界 — slack equality form。
• 實數大小與順序 — componentwise inequalities。

驗證界線

只證表示轉換與point correspondence；不宣稱可行、有界、最優或dual。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入線性規劃對偶。

同源結構化資料

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