自然數模同餘

數學敘述

對自然數 a、b 與正自然數 n，a≡b (mod n) 當且僅當 a mod n=b mod n；等價地，存在自然數 k、l 使 a+n·k=b+n·l。

代表公式（精確 TeX）

r(a)=r(b)

成立條件

• a、b 是自然數，模數 n 為正自然數。
• 本條目刻意排除 n=0，以免把程式語言的 mod-zero 慣例混入通常初等數論語義。

符號作用域

• r — 固定正模數下的餘數函數
• a — 第一自然數
• b — 第二自然數

直觀、定義與常見誤解

同餘比較的是固定同一模數下的餘數，而不是數值相等。它在自然數上是等價關係。

若 a≡b (mod n) 且 c≡d (mod n)，則加法與乘法保持同餘；有限題目會逐項重算餘數。

取消乘法因子需要額外條件；從 c·a≡c·b 直接取消 c 通常不合法，必須考慮 c 與 n 的最大公因數。

混用不同模數、允許零模數，或無條件在同餘式兩側取消共同因子。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 自然數 — 輸入、模數與餘數都在自然數中。
• 四則運算 — 同餘計算使用精確除法餘數、加法與乘法。

驗證界線

固定正模數的有限餘數可精確重算；本輪不宣稱中國剩餘定理或一般取消律已形式化。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 Nat.ModEq 的餘數定義、等價關係與 add/mul 保持；另證對稱自然數見證橋。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。