Newton根求解方法

數學敘述

對可微實函數f，只有在目前iterate x_k位於domain且f'(x_k)不等於0時，Newton update x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)才有定義。本輪exact slice使用低次整係數多項式與有理iterate，逐步精確重算f、f'及更新；若已到f(x_k)=0，先以root_found停止，不再對可能同時為0的導數做0/0。有限orbit、residual下降或某一步接近根都不證一般收斂、二次收斂或global root；residual |f(x)|也不是未給定真根時的forward error。

代表公式（精確 TeX）

N(f,x)=y

成立條件

• 多項式係數按低次至高次排列，至少含一個非零非定數係數；iterate為bounded exact rational。
• 每一步先核f(x)=0，再核f'(x)不等於0；步數只產生有限trace。
• square-root special slice要求正radicand與正iterate，仍只輸出有限exact orbit。

符號作用域

• N — Newton更新算子
• f — 待求根可微函數
• x — 目前iterate
• y — 下一iterate或停止狀態

直觀、定義與常見誤解

每一步的domain、root stop與nonzero derivative責任先於除法。

exact finite orbit是演算法trace，不是收斂證明。

residual、forward error、局部收斂率與global basin分開。

看到幾步快速下降便宣稱必然或二次收斂，或在f=f'=0時仍執行0/0更新。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實函數在一點的導數與差商 — update需要點導數。
• 數值近似與誤差 — residual與forward error分界。
• 算法正確性 — step precondition與停止狀態。
• 方程式 — 目標是f(x)=0。
• 數列 — iterate形成有序有限prefix或無限序列。
• 多項式的和、乘積與合成微分 — 題族精確重算多項式導數。

驗證界線

本輪不宣稱一般Newton收斂定理、root唯一性或floating-point stability。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Kantorovich／simple-root局部二次收斂條件與roundoff分析。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。