數值近似與誤差

數學敘述

給近似值 a 與參照值 x，絕對誤差為 |a-x|。若 x≠0，相對誤差為 |a-x|/|x|。容許誤差 τ≥0 時，|a-x|≤τ 才稱在該容許範圍內。

代表公式（精確 TeX）

e=A(a,x)

成立條件

• 題庫使用精確有理數，不以二進位浮點顯示值冒充精確答案。
• 相對誤差只在參照值非零時求值；截斷誤差、捨入誤差與資料誤差不自動互換。

符號作用域

• e — 絕對誤差
• a — 近似值
• x — 參照值

直觀、定義與常見誤解

絕對誤差保留原量的尺度，相對誤差將其和非零參照量比較；二者回答不同問題。

誤差界 |a-x|≤τ 等價於 a 位於 [x-τ,x+τ]；端點包含在容許範圍。

誤差數值本身不說明來源。要區分離散化、截斷、捨入、量測與模型誤差，必須另有產生過程資料。

參照值為零仍計算相對誤差，或把所有誤差都叫捨入誤差。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實數 — 近似值與參照值位於實數範圍。
• 絕對值 — 誤差大小使用絕對值。
• 比與比例 — 相對誤差是無因次比值。

驗證界線

精確有理核對只證指定數值與界；不評估演算法收斂或浮點實作。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入截斷與捨入來源、條件數、穩定性及收斂階。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。