常微分方程

數學敘述

常微分方程是在指定區間上，關聯未知單變數函數 y 與其有限階導數的方程。方程中出現的最高導數階數稱為階數；把候選 y 代入並得零殘差，只核對該候選在指定範圍是否滿足方程。

代表公式（精確 TeX）

F(y,D(y))=0

成立條件

• 未知量為單一實變數的實值函數，題目明示所用導數與係數。
• 題庫限整係數多項式候選與指定點的精確殘差；不由方程本身推論解存在、唯一或全域延拓。

符號作用域

• F — 微分關係
• y — 未知函數

直觀、定義與常見誤解

ODE 的階數由實際出現的最高導數決定，不由多項式候選的次數或方程項數決定。

候選解核對應重算 y、y'、y'' 等並代入同一方程；只在一點殘差為零通常不足以證整個區間上為解。

初值可以篩選候選解，但存在與唯一性仍需連續性、Lipschitz 等額外假設及對應定理。

把一點代入成功當成區間上的解，或從 ODE 與初值直接宣稱必有唯一解。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實函數在一點的導數與差商 — 微分方程以導數表示變化。
• 函數映射 — 未知量是定義域上的函數。
• 方程式 — 解需使微分關係成立。

驗證界線

本輪只做多項式候選的階數、指定點殘差與初值核對；不證存在唯一性。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

建立初值問題、解區間、存在唯一條件及標準一階方程類型。

同源結構化資料

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