道路連通空間

數學敘述

path是continuous gamma:[0,1]→X且gamma(0)=x、gamma(1)=y。exact families以實interval與finite-dimensional box的linear path、兩條path的piecewise concatenation核endpoint、range與接點；disconnected gap與兩點discrete space用connected-image責任排除。只給有限sample points、只對某一對端點有path或忽略continuity都不證path connected。path connected推出connected，但一般converse不成立。

代表公式（精確 TeX）

H(X,x,y)=g

成立條件

• domain固定為帶通常拓撲的閉單位區間。
• 每條candidate path須同時核連續性、endpoint與全range containment。

符號作用域

• H — 道路連通性算子
• X — 拓撲空間
• x — 路徑起點
• y — 路徑終點
• g — 連續路徑

直觀、定義與常見誤解

endpoint、continuity與全range containment缺一不可。

convex interval／box給明示linear path，concatenation另驗接點。

一對點或有限samples不證全稱path connectedness。

把點列、圖上的walk或某一對點可連接當成拓撲path。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 拓撲連續映射 — path continuity。
• 連通拓撲空間 — path connected implies connected與反向邊界。
• 實數 — unit interval。
• 實數大小與順序 — 0≤t≤1與interval containment。
• 有限乘積拓撲 — box path的product codomain。
• 介值定理 — gap與discrete boundary的connected-image證書。
• 函數合成 — path concatenation與continuous image。
• 四則運算 — linear path與piecewise參數化。

驗證界線

linear exact witnesses只證指定convex spaces；一般connected不推出path connected。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入local path connectedness與fundamental group入口。

同源結構化資料

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