實內積空間

數學敘述

在同一實向量空間上，內積須對兩槽雙線性、對稱，且對每個非零向量x都有<x,x>>0。本輪對R^2使用整係數對稱矩陣及Sylvester條件作全稱正定證書。

代表公式（精確 TeX）

J(V)

成立條件

• 矩陣與向量完整明示；候選矩陣為2乘2整數矩陣。
• 正定性以首主子式與行列式的精確條件核對，不由有限向量樣本建立。

符號作用域

• J — 實內積
• V — 實向量空間

直觀、定義與常見誤解

雙線性、對稱、正定是三個分離責任。

R^2對稱矩陣可用Sylvester條件作全稱證書。

內積空間不自動完備。

把對稱雙線性形式或半正定形式直接叫內積，或用幾個向量樣本證正定。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實雙線性形式 — 內積先須完整雙線性。
• 實數大小與順序 — 正定性使用實數嚴格正值。
• 實向量空間 — 內積定義在同一實向量空間。

驗證界線

只核明示R^2矩陣證書；不推出完備、Hilbert或任意維譜定理。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入內積誘導範數。

同源結構化資料

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