σ-代數與測度空間

數學敘述

在集合X上，σ-代數含空集，對補集及可數聯集封閉。測度對可測集給非負值、空集為零，並對兩兩互斥可數族可數可加。本輪完整有限載體可把可數責任歸約為有限distinct sets。

代表公式（精確 TeX）

M(S)

成立條件

• 題庫使用有限載體、canonical完整集合族與精確非負有理測度值。
• 有限歸約只證指定有限測度空間，不外推任意無限σ-代數或extended-real行為。

符號作用域

• M — 有限測度空間紀錄
• S — 可測集合族

直觀、定義與常見誤解

有限載體上的canonical集合族可完整核補集與二元聯集；有限distinct集合使可數聯集歸約成立。

測度核對空集零與全部互斥對的有限可加性；有限載體中互斥非空族最多有限個。

總量為1時才是機率測度。

只含空集與全體就叫任意σ-代數，或把有限加法無條件外推無限載體。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 集合 — 載體與可測集為集合。
• 集合運算 — 補集與聯集封閉。
• 函數映射 — 測度為可測集合到非負值的函數。
• 數列 — 可數族以序列索引。
• 量詞與明示論域 — 可數封閉與可加性含全稱責任。
• 實數 — 有限題的測度值為非負實數。

驗證界線

可數語義只在指定有限載體由有限歸約封閉。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入可測函數、Lebesgue積分與收斂定理。

同源結構化資料

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