二元聯立一次方程組與退化邊界

數學敘述

令 x、y 為實數未知數，要求 a x+b y=c 與 d x+e y=f 同時成立。令 L(x,y)=(a x+b y−c,d x+e y−f)，z=(0,0)，則解集滿足 L(x,y)=z。D=ae−bd≠0 時唯一解為 x=(ce−bf)/D、y=(af−cd)/D；D=0 時須檢查一致性，可能無解或無限多解。

代表公式（精確 TeX）

L(x,y)=z

成立條件

• 係數與右側常數皆為實數；題庫採整數係數和精確有理候選。
• 作為線性系統容許零係數列：0=0 無限制，0=c≠0 不一致；不得在 D=0 時套唯一解除法。

符號作用域

• L — 兩個線性限制的殘差向量
• x — 第一實數未知數
• y — 第二實數未知數
• z — 零向量 (0,0)

直觀、定義與常見誤解

驗證候選有理數對時，必須代入兩列，分母先確認非零；只通過其中一列不等於整個系統的解。

D≠0 時才使用唯一解公式。D=0 時，係數秩與增廣資料的一致性決定無解或無限多解；必須先檢查不一致零列。係數全零且右側全零時所有 R² 皆為解；若任一右側非零則無解。

本輪用精確二階 minors 與零列邊界檢查一致性。不能僅因 D 和兩個 Cramer 分子都為零就認定無限多解，也不從示意直線交點猜精確解。

只代入一列、在 D=0 時除法，或忽略 0=非零 的不一致零列。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 一元一次方程式 — 非零係數、代入驗證及退化限制需分清。
• 固定基底下的平面向量 — 解與殘差各用有序二分量表示。

驗證界線

明示二元兩列系統可精確驗證；一般線性代數秩定理與求解演算法的形式正確性尚待 Evidence。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定線性限制解集、零列、二階 determinant、rank／augmented consistency 與非零 D 的解公式。

同源結構化資料

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