固定基底下的平面向量

數學敘述

在固定標準基底下，平面向量 u=(u₁,u₂)∈R²；u+v=(u₁+v₁,u₂+v₂)，k u=(k u₁,k u₂)，u−v=(u₁−v₁,u₂−v₂)。向量相等當且僅當兩個對應分量相等；零向量為 (0,0)。

代表公式（精確 TeX）

u+v

成立條件

• 基底固定，分量與純量為實數；題庫採整數分量／純量的精確切片。
• 有序對在此表示向量分量，不把幾何點、位置向量和任意座標系混為同一個對象。

符號作用域

• u — 第一平面向量
• v — 第二平面向量

直觀、定義與常見誤解

逐分量相加或相減，不能只比較分量和。u−v 的方向有意義；交換通常得到相反向量。

純量零給出零向量，負純量給出方向反轉的代數表示。向量加法與純量乘法不是內積，結果仍是 R² 的向量。

本輪不由分量運算推論長度、角度、單位向量或基底變換；任意向量空間與其公理、物理單位另有義務。

把向量座標當成可交換、向量相等只需長度相同，或把純量乘法當成內積。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實數 — 向量分量與純量屬於實數。
• 四則運算 — 向量運算按分量做加減與乘法。
• 座標平面 — 固定有序分量與基底語境。

驗證界線

整數分量的有限運算可精確重算；一般向量空間公理及幾何語義橋仍未附 Evidence。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 Fin 2→Real／Real×Real 的逐分量結構與固定基底表示。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。