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第 28433 題：二次方程式的精確根集合

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 143

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R0055-28433 · q-20261003-r04-quadratic-equation-0083

原題與已知條件

在實數論域，(-6)x²+(-21)x+(-15)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。

  • G001 — 在實數論域，(-6)x²+(-21)x+(-15)=0 的 a≠0 且 D 為非負完全平方數。求最簡正分母、遞增且重複只列一次的根集合。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-quadratic-exact-roots, exact_roots]

操作後

derived = [[increasing_reduced_positive_denominator_root_SET_retaining1]]

條件：無

此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。

步驟識別與依賴

規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL b squared := mul(-21, -21)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL b squared = 441

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL a times c := mul(-6, -15)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL a times c = 90

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL four times ac := mul(4, 90)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL four times ac = 360

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac := sub(441, 360)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [-6, -21, -15, 81]

操作後

derived = [4a*(a*x^2+b*x+c)=(2a*x+b)^2-D, 2]

條件：無

a非0使4a可逆，方程等價(2ax+b)²=D。D<0無實根，D0一個值，D>0兩個相異值；重根只算一次，D為不設衍生SAFE上限的BigInt。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_quadratic_GENERAL_complete_square_iff_DISTINCT_real_roots · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0 := mul(41, 41)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0 = 1681

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 0, [0, 82], 41]

操作後

derived = [1681, 否, 0, 41]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1 := mul(20, 20)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1 = 400

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 1, [0, 41], 20]

操作後

derived = [400, 否, 0, 20]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2 := mul(10, 10)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2 = 100

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 2, [0, 20], 10]

操作後

derived = [100, 否, 0, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3 := mul(5, 5)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3 = 25

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 3, [0, 10], 5]

操作後

derived = [25, 是, 5, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4 := mul(7, 7)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4 = 49

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 4, [5, 10], 7]

操作後

derived = [49, 是, 7, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5 := mul(8, 8)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5 = 64

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 5, [7, 10], 8]

操作後

derived = [64, 是, 8, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square6 := mul(9, 9)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square6 = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 6, [8, 10], 9]

操作後

derived = [81, 是, 9, 10]

條件：無

在非負整數上square單調，保持low²<=n<high²；mid是BigInt floor((low+high)/2)，不用浮點sqrt，嚴格縮小整數bracket。衍生值不重套SAFE。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_EACH_BigInt_integer_midpoint_bracket · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square := mul(9, 9)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square = 81

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square := mul(10, 10)

操作後

Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square = 100

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source roles = [Legacy quadratic DERIVED discriminant, 81, 9, 10]

操作後

derived = [81, 100]

條件：無

相鄰整數bracket證floor sqrt=low；exact root另核low²=n，主平方根只取非負分支。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_isqrt_terminal_floor_and_single_nonnegative_branch · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL negated b := sub(0, -21)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL negated b = 21

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator := sub(21, 9)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator = 12

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator := sum(21, 9)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator = 30

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a := mul(2, -6)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a = -12

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 := div(12, -12)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0 = -1

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

source roles = [0, 12, -12]

操作後

derived = [-1, 1, -1/1]

條件：無

對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 := div(30, -12)

操作後

Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1 = -5/2

條件：無

按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

source roles = [1, 30, -12]

操作後

derived = [-5, 2, -5/2]

條件：無

對每個原branch normalize分母正號與gcd；原den2a可負，衍生num／den不重套SAFE，整數仍顯示p/1。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_quadratic_EACH_raw_branch_positive_den_gcd_normalization · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

source roles = [-6, 81, [-1/1, -5/2]]

操作後

derived = [[-5/2, -1/1], {-5/2, -1/1}]

條件：無

按有理數實值／cross products排序，不能lexical或假設minus branch一定較小（a負會反向）。D0的兩個branch同值只列一次；完整square iff也證沒有漏根。

步驟識別與依賴

規則：Legacy_quadratic_EXACT_numeric_sort_and_D0_set_dedup · 依賴：G001, S031

逐步反向核對

  • S032 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch1，不以小數近似替代。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL raw rational branch0，不以小數近似替代。
  • S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL denominator2a，不以小數近似替代。
  • S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL plus numerator，不以小數近似替代。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL minus numerator，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL negated b，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal successor square，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant terminal root square，不以小數近似替代。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square6，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square5，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square4，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square3，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square2，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square1，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic DERIVED discriminant exact midpoint square0，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared minus fourac，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL four times ac，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL a times c，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legacy quadratic ORIGINAL b squared，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。

結論

{-5/2, -1/1}

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: e4c6fd23cb9974cf9d0a8cd9726cb617901015b9e668235bc3038de5646d4561
  • candidate record SHA-256: 07e53806638e7d93060319ac9772ab4d29faa0d4ddea5da2fb054e0347c20581
  • semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683
  • question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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