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第 32498 題：限制定義域後的單射性

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0063-32498 · q-20261004-advance-20261005-r01-injective-0098

原題與已知條件

明示總函數 f:A→B，A={-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}、B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}，函數表為 {(-6, 1), (-5, 3), (-4, 5), (-3, 7), (-2, 9), (-1, 11), (0, 13)}。令 C={-5, -4, -3, -2, -1, 0}⊆A，限制函數 f|C:C→B 是否單射？只問限制函數。

  • G001 — 明示總函數 f:A→B，A={-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}、B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}，函數表為 {(-6, 1), (-5, 3), (-4, 5), (-3, 7), (-2, 9), (-1, 11), (0, 13)}。令 C={-5, -4, -3, -2, -1, 0}⊆A，限制函數 f|C:C→B 是否單射？只問限制函數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-injective-restriction-property, restricted_injective, no-required-domain, []]

操作後

derived = [[restricted_injectivity_YesNo_STRING]]

條件：無

BASE來源沒有本輪legacy的通用operation/domain/額外欄位禁令；保metadata而不當答案。PULSE與legacy則核來源精確欄位、operation及domain。不要把tuple、/1或輸入界強套全部題族。

步驟識別與依賴

規則：R63_SOURCE_bank_keys_operation_domain_output_roles_metadata_not_oracle · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [A declared domain, legacy-injective, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0]]

操作後

derived = [[-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0]]

條件：無

A/B/C raw都為distinct SAFE整數；legacy injective限100，但PULSE沒有此100界。排序只在衍生工作表，不改原list。

步驟識別與依賴

規則：Map_RAW_distinct_SAFE_set_BANK_specific_cardinality_bound · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [B declared codomain, legacy-injective, [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

條件：無

A/B/C raw都為distinct SAFE整數；legacy injective限100，但PULSE沒有此100界。排序只在衍生工作表，不改原list。

步驟識別與依賴

規則：Map_RAW_distinct_SAFE_set_BANK_specific_cardinality_bound · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [[[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

條件：無

PULSE先拒絕完全重複raw row，不能把它當合法No；legacy injective先核raw長度≤200，再把完全相同row當同一有序對。兩種規則不能互換；全部raw cell先驗。

步驟識別與依賴

規則：Map_RAW_pairs_arity_SAFE_DUPLICATE_policy_BEFORE_totality · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 0, -6, 1, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 1, -5, 3, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 2, -4, 5, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 3, -3, 7, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 4, -2, 9, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 5, -1, 11, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 6, 0, 13, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]]

操作後

derived = [是, 是, 是]

條件：無

每一row的input必在A、output必在B，包含unused／orphan row。A空也不能略過row資格。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_row_SOURCE_and_TARGET_membership_in_declared_sets · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -6, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -5, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -4, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -3, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -2, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, -1, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, 0, [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [1, 是]

條件：無

逐declared A輸入數row，恰一個才滿足總函數；缺row與多個相異output都會失敗，不用第一個find掩蓋。

步驟識別與依賴

規則：Map_EACH_declared_input_EXACTLY_one_normalized_row · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [legacy-injective, [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15], [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]], 是]

操作後

derived = [[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], 是]

條件：無

總函數須兩方向資格同時成立。PULSE validity可回合法No；其他查詢與legacy injective都先要求真正total，才建lookup。空A/空表可以合法，B未達到元素不必刪。

步驟識別與依賴

規則：Map_TOTAL_all_declared_inputs_AND_ALL_rows_before_any_lookup · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [C restriction domain, legacy-injective, [-5, -4, -3, -2, -1, 0]]

操作後

derived = [[-5, -4, -3, -2, -1, 0]]

條件：無

A/B/C raw都為distinct SAFE整數；legacy injective限100，但PULSE沒有此100界。排序只在衍生工作表，不改原list。

步驟識別與依賴

規則：Map_RAW_distinct_SAFE_set_BANK_specific_cardinality_bound · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -5, -4, 3, 5]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -5, -3, 3, 7]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -5, -2, 3, 9]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -5, -1, 3, 11]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -5, 0, 3, 13]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -4, -3, 5, 7]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -4, -2, 5, 9]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -4, -1, 5, 11]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -4, 0, 5, 13]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -3, -2, 7, 9]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -3, -1, 7, 11]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -3, 0, 7, 13]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -2, -1, 9, 11]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -2, 0, 9, 13]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

source roles = [RESTRICTED C ONLY, -1, 0, 11, 13]

操作後

derived = [否]

條件：無

按數值遞增的原允許input兩兩取x<y，再比較完整輸出；不是stream首重複、不是同一row的重複副本。

步驟識別與依賴

規則：Injective_EVERY_distinct_permitted_pair_numeric_LEX_test · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

source roles = [[-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0], [-5, -4, -3, -2, -1, 0], [[-6, 1], [-5, 3], [-4, 5], [-3, 7], [-2, 9], [-1, 11], [0, 13]]]

操作後

derived = [[], 是]

條件：無

先驗C⊆A及整個原map total，再只比較C內的不同inputs。C空符合單射；C外collision不算，但Yes不證原map本來單射。

步驟識別與依賴

規則：Injective_RESTRICTION_only_C_pairs_empty_true_NOT_global_property · 依賴：G001, S035

逐步反向核對

  • S036 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S035 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S034 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S033 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S032 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S031 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S030 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S029 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S028 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S027 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S026 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S025 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S024 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S023 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S022 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S021 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S020 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S019 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S018 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S017 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S016 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S015 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S014 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S013 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S012 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S011 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
  • S010 · premise_and_result_audit — 依原始輸入、型別、論域及明示前提反向代回核對；不是由結論唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布各自分開。
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結論

是

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: e4e172fb45eceb7b5431351b6949bd853c9bd88be24b3dcc46c01e2ada072ddf
  • candidate record SHA-256: a362183e9a7d24823bed32953d7f88847a3c8f258010dc40d82fd211f434c192
  • semantic review receipt SHA-256: acf03b776f4855e3869810bcbecf1116e3a2b11dfb1e2a5dfbcf8135ad24a7d0
  • question-first witness SHA-256: eadbbac3220988b52754f32450fb536d627217306d1ce28a49134f56c21bfa88
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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