第 31708 題：非等可能有限模型的期望

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -13), (1, -13), (2, -4), (3, 1006)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/16, 9/16, 6/16, 0/16]，權重總和恰為一。求精確 E[X]，不可改成不同值的普通平均。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -13), (1, -13), (2, -4), (3, 1006)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/16, 9/16, 6/16, 0/16]，權重總和恰為一。求精確 E[X]，不可改成不同值的普通平均。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

source roles = [qf-expectation-weighted, no-domain-field, expectation, no-form-field]

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1)

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 9)

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 10

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 := sum(10, 6)

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 = 16

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 := sum(16, 0)

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 = 16

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [1, 9, 6, 0], 16, [-13, -13, -4, 1006], not-supplied]

derived = [[0, 1, 2, 3], 16, 是]

source roles = [0, 0, expectation, -13, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-13]

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, -13)

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = -13

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, -13)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = -13

source roles = [1, 1, expectation, -13, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-13]

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(9, -13)

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = -117

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(-13, -117)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = -130

source roles = [2, 2, expectation, -4, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-4]

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value := mul(6, -4)

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value = -24

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 := sum(-130, -24)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 = -154

source roles = [3, 3, expectation, 1006, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [1006]

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value := mul(0, 1006)

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value = 0

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 := sum(-154, 0)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 = -154

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(-154, 16)

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = -77/8

source roles = [[0, 1, 2, 3], [1, 9, 6, 0], 16, expectation, [-13, -13, -4, 1006]]

derived = [[-13, -117, -24, 0], -154, -77/8]

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

-77/8

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。