第 31713 題：非等可能有限模型的期望

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 2), (1, 2), (2, 16), (3, 1011)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/18, 14/18, 3/18, 0/18]，權重總和恰為一。求精確 E[X]，不可改成不同值的普通平均。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 2), (1, 2), (2, 16), (3, 1011)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/18, 14/18, 3/18, 0/18]，權重總和恰為一。求精確 E[X]，不可改成不同值的普通平均。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

source roles = [qf-expectation-weighted, no-domain-field, expectation, no-form-field]

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1)

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 14)

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 15

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 := sum(15, 3)

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 = 18

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 := sum(18, 0)

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 = 18

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [1, 14, 3, 0], 18, [2, 2, 16, 1011], not-supplied]

derived = [[0, 1, 2, 3], 18, 是]

source roles = [0, 0, expectation, 2, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [2]

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, 2)

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = 2

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, 2)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = 2

source roles = [1, 1, expectation, 2, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [2]

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(14, 2)

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = 28

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(2, 28)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = 30

source roles = [2, 2, expectation, 16, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [16]

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value := mul(3, 16)

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value = 48

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 := sum(30, 48)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 = 78

source roles = [3, 3, expectation, 1011, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [1011]

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value := mul(0, 1011)

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value = 0

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 := sum(78, 0)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 = 78

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(78, 18)

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = 13/3

source roles = [[0, 1, 2, 3], [1, 14, 3, 0], 18, expectation, [2, 2, 16, 1011]]

derived = [[2, 28, 48, 0], 78, 13/3]

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

13/3

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。