第 31678 題：共用模型兩變數和的期望

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -8), (1, -8), (2, -4), (3, 1001)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/10, 4/10, 5/10, 0/10]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, -14), (1, -14), (2, -6), (3, 2004)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -8), (1, -8), (2, -4), (3, 1001)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/10, 4/10, 5/10, 0/10]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, -14), (1, -14), (2, -6), (3, 2004)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

source roles = [qf-expectation-same-model-sum, no-domain-field, sum_expectation, no-form-field]

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1)

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 4)

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 5

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 := sum(5, 5)

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 = 10

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 := sum(10, 0)

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 = 10

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [1, 4, 5, 0], 10, [-8, -8, -4, 1001], [-14, -14, -6, 2004]]

derived = [[0, 1, 2, 3], 10, 是]

Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y := sum(-8, -14)

Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y = -22

source roles = [0, 0, sum_expectation, -8, -14, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-22]

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, -22)

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = -22

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, -22)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = -22

Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y := sum(-8, -14)

Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y = -22

source roles = [1, 1, sum_expectation, -8, -14, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-22]

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(4, -22)

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = -88

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(-22, -88)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = -110

Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y := sum(-4, -6)

Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y = -10

source roles = [2, 2, sum_expectation, -4, -6, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-10]

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value := mul(5, -10)

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value = -50

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 := sum(-110, -50)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 = -160

Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y := sum(1001, 2004)

Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y = 3005

source roles = [3, 3, sum_expectation, 1001, 2004, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [3005]

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value := mul(0, 3005)

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value = 0

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 := sum(-160, 0)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 = -160

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(-160, 10)

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = -16

source roles = [[0, 1, 2, 3], [1, 4, 5, 0], 10, sum_expectation, [-22, -22, -10, 3005]]

derived = [[-22, -88, -50, 0], -160, -16/1]

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

-16/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。