第 31698 題：共用模型兩變數和的期望

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, 26), (1, 26), (2, 74), (3, 2044)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, 26), (1, 26), (2, 74), (3, 2044)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

source roles = [qf-expectation-same-model-sum, no-domain-field, sum_expectation, no-form-field]

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1)

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 24)

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 25

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 := sum(25, 5)

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 = 30

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 := sum(30, 0)

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 = 30

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [1, 24, 5, 0], 30, [12, 12, 36, 1021], [26, 26, 74, 2044]]

derived = [[0, 1, 2, 3], 30, 是]

Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y := sum(12, 26)

Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y = 38

source roles = [0, 0, sum_expectation, 12, 26, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [38]

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, 38)

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = 38

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, 38)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = 38

Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y := sum(12, 26)

Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y = 38

source roles = [1, 1, sum_expectation, 12, 26, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [38]

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(24, 38)

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = 912

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(38, 912)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = 950

Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y := sum(36, 74)

Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y = 110

source roles = [2, 2, sum_expectation, 36, 74, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [110]

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value := mul(5, 110)

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value = 550

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 := sum(950, 550)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 = 1500

Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y := sum(1021, 2044)

Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y = 3065

source roles = [3, 3, sum_expectation, 1021, 2044, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [3065]

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value := mul(0, 3065)

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value = 0

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 := sum(1500, 0)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 = 1500

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(1500, 30)

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = 50

source roles = [[0, 1, 2, 3], [1, 24, 5, 0], 30, sum_expectation, [38, 38, 110, 3065]]

derived = [[38, 912, 550, 0], 1500, 50/1]

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

50/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。