第 31699 題：共用模型兩變數和的期望

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -29), (1, -29), (2, -4), (3, 1022)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/32, 25/32, 6/32, 0/32]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, -55), (1, -55), (2, -5), (3, 2047)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -29), (1, -29), (2, -4), (3, 1022)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/32, 25/32, 6/32, 0/32]，權重總和恰為一。同一 S 上 Y 的值表為 {(0, -55), (1, -55), (2, -5), (3, 2047)}；求精確 E[X+Y]，不另造獨立模型。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

source roles = [qf-expectation-same-model-sum, no-domain-field, sum_expectation, no-form-field]

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1)

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 25)

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 26

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 := sum(26, 6)

Expectation ORIGINAL weight total through slot2 = 32

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 := sum(32, 0)

Expectation ORIGINAL weight total through slot3 = 32

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [1, 25, 6, 0], 32, [-29, -29, -4, 1022], [-55, -55, -5, 2047]]

derived = [[0, 1, 2, 3], 32, 是]

Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y := sum(-29, -55)

Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y = -84

source roles = [0, 0, sum_expectation, -29, -55, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-84]

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, -84)

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = -84

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, -84)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = -84

Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y := sum(-29, -55)

Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y = -84

source roles = [1, 1, sum_expectation, -29, -55, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-84]

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(25, -84)

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = -2100

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(-84, -2100)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = -2184

Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y := sum(-4, -5)

Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y = -9

source roles = [2, 2, sum_expectation, -4, -5, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [-9]

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value := mul(6, -9)

Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value = -54

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 := sum(-2184, -54)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2 = -2238

Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y := sum(1022, 2047)

Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y = 3069

source roles = [3, 3, sum_expectation, 1022, 2047, not-supplied, not-supplied, not-supplied]

derived = [3069]

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value := mul(0, 3069)

Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value = 0

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 := sum(-2238, 0)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3 = -2238

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(-2238, 32)

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = -1119/16

source roles = [[0, 1, 2, 3], [1, 25, 6, 0], 32, sum_expectation, [-84, -84, -9, 3069]]

derived = [[-84, -2100, -54, 0], -2238, -1119/16]

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot3，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot3 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot3 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot2，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot2 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot2 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot1 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation SAME outcome slot0 ORIGINAL X plus Y，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

-1119/16

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。