第 31666 題：歸一化模型中常數的期望

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1}、事件族 F=𝒫(S)，各結果依列序 [0, 1] 的非負機率權重為 [1/4, 3/4]，權重總和恰為一。令 X(s)=3 對每個 s∈S 成立，求精確 E[X]。

• G001 — 非空有限 S={0, 1}、事件族 F=𝒫(S)，各結果依列序 [0, 1] 的非負機率權重為 [1/4, 3/4]，權重總和恰為一。令 X(s)=3 對每個 s∈S 成立，求精確 E[X]。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

source roles = [qf-expectation-constant, no-domain-field, constant_expectation, no-form-field]

derived = [[reduced_fraction_RETAIN1_STRING]]

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 := sum(0, 1)

Expectation ORIGINAL weight total through slot0 = 1

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 := sum(1, 3)

Expectation ORIGINAL weight total through slot1 = 4

source roles = [[0, 1], powerset(S), [1, 3], 4, not-supplied, not-supplied]

derived = [[0, 1], 4, 是]

source roles = [0, 0, constant_expectation, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied, 3]

derived = [3]

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value := mul(1, 3)

Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value = 3

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 := sum(0, 3)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0 = 3

source roles = [1, 1, constant_expectation, not-supplied, not-supplied, not-supplied, not-supplied, 3]

derived = [3]

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value := mul(3, 3)

Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value = 9

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 := sum(3, 9)

Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1 = 12

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator := div(12, 4)

Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator = 3

source roles = [[0, 1], [1, 3], 4, constant_expectation, [3, 3]]

derived = [[3, 9], 12, 3/1]

逐步反向核對

• S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator over denominator，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot1 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weighted numerator through slot0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL slot0 weight times transformed value，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Expectation ORIGINAL weight total through slot0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

3/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。