第 35854 題：精確有限機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -9), (1, -9), (2, -4), (3, 1002)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/12, 5/12, 6/12, 0/12]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -9), (1, -9), (2, -4), (3, 1002)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/12, 5/12, 6/12, 0/12]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-weighted, [F, S, denominator, operation, values, weights]]

derived = [variance, variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 5, 6, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 12

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-9, -9, -4, 1002], [1, 5, 6, 0], 12, null, null]

derived = [是]

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, -9)

Variance weight times transformed value i=0 = -9

source roles = [0, 0, -9, 1, null, null]

derived = [-9, 1/12]

Variance weight times transformed value i=1 := mul(5, -9)

Variance weight times transformed value i=1 = -45

source roles = [1, 1, -9, 5, null, null]

derived = [-9, 5/12]

Variance weight times transformed value i=2 := mul(6, -4)

Variance weight times transformed value i=2 = -24

source roles = [2, 2, -4, 6, null, null]

derived = [-4, 1/2]

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 1002)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1002, 0, null, null]

derived = [1002, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(-9, -45, -24, 0)

Variance mean numerator sum wY = -78

Variance exact expectation M over q := div(-78, 12)

Variance exact expectation M over q = -13/2

Variance i=0 Y times q := mul(-9, 12)

Variance i=0 Y times q = -108

Variance i=0 centered integer numerator := sub(-108, -78)

Variance i=0 centered integer numerator = -30

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-30, -30)

Variance i=0 centered numerator squared = 900

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 900)

Variance i=0 weight times squared numerator = 900

Variance i=1 Y times q := mul(-9, 12)

Variance i=1 Y times q = -108

Variance i=1 centered integer numerator := sub(-108, -78)

Variance i=1 centered integer numerator = -30

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-30, -30)

Variance i=1 centered numerator squared = 900

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(5, 900)

Variance i=1 weight times squared numerator = 4500

Variance i=2 Y times q := mul(-4, 12)

Variance i=2 Y times q = -48

Variance i=2 centered integer numerator := sub(-48, -78)

Variance i=2 centered integer numerator = 30

Variance i=2 centered numerator squared := mul(30, 30)

Variance i=2 centered numerator squared = 900

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(6, 900)

Variance i=2 weight times squared numerator = 5400

Variance i=3 Y times q := mul(1002, 12)

Variance i=3 Y times q = 12024

Variance i=3 centered integer numerator := sub(12024, -78)

Variance i=3 centered integer numerator = 12102

Variance i=3 centered numerator squared := mul(12102, 12102)

Variance i=3 centered numerator squared = 146458404

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 146458404)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(900, 4500, 5400, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 10800

Variance denominator q squared := mul(12, 12)

Variance denominator q squared = 144

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(144, 12)

Variance denominator q cubed binary second factor = 1728

Variance probability population centered sum over q cubed := div(10800, 1728)

Variance probability population centered sum over q cubed = 25/4

source roles = [[-9, -9, -4, 1002], [1, 5, 6, 0], 12, -13/2, 10800, 1728]

derived = [25/4, [-9, -4], 否]

source roles = [variance, null, null]

derived = [25/4]

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S034 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

25/4

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。