第 35858 題：精確有限機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -13), (1, -13), (2, -4), (3, 1006)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/16, 9/16, 6/16, 0/16]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -13), (1, -13), (2, -4), (3, 1006)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/16, 9/16, 6/16, 0/16]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-weighted, [F, S, denominator, operation, values, weights]]

derived = [variance, variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 9, 6, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 16

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-13, -13, -4, 1006], [1, 9, 6, 0], 16, null, null]

derived = [是]

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, -13)

Variance weight times transformed value i=0 = -13

source roles = [0, 0, -13, 1, null, null]

derived = [-13, 1/16]

Variance weight times transformed value i=1 := mul(9, -13)

Variance weight times transformed value i=1 = -117

source roles = [1, 1, -13, 9, null, null]

derived = [-13, 9/16]

Variance weight times transformed value i=2 := mul(6, -4)

Variance weight times transformed value i=2 = -24

source roles = [2, 2, -4, 6, null, null]

derived = [-4, 3/8]

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 1006)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1006, 0, null, null]

derived = [1006, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(-13, -117, -24, 0)

Variance mean numerator sum wY = -154

Variance exact expectation M over q := div(-154, 16)

Variance exact expectation M over q = -77/8

Variance i=0 Y times q := mul(-13, 16)

Variance i=0 Y times q = -208

Variance i=0 centered integer numerator := sub(-208, -154)

Variance i=0 centered integer numerator = -54

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-54, -54)

Variance i=0 centered numerator squared = 2916

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 2916)

Variance i=0 weight times squared numerator = 2916

Variance i=1 Y times q := mul(-13, 16)

Variance i=1 Y times q = -208

Variance i=1 centered integer numerator := sub(-208, -154)

Variance i=1 centered integer numerator = -54

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-54, -54)

Variance i=1 centered numerator squared = 2916

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(9, 2916)

Variance i=1 weight times squared numerator = 26244

Variance i=2 Y times q := mul(-4, 16)

Variance i=2 Y times q = -64

Variance i=2 centered integer numerator := sub(-64, -154)

Variance i=2 centered integer numerator = 90

Variance i=2 centered numerator squared := mul(90, 90)

Variance i=2 centered numerator squared = 8100

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(6, 8100)

Variance i=2 weight times squared numerator = 48600

Variance i=3 Y times q := mul(1006, 16)

Variance i=3 Y times q = 16096

Variance i=3 centered integer numerator := sub(16096, -154)

Variance i=3 centered integer numerator = 16250

Variance i=3 centered numerator squared := mul(16250, 16250)

Variance i=3 centered numerator squared = 264062500

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 264062500)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(2916, 26244, 48600, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 77760

Variance denominator q squared := mul(16, 16)

Variance denominator q squared = 256

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(256, 16)

Variance denominator q cubed binary second factor = 4096

Variance probability population centered sum over q cubed := div(77760, 4096)

Variance probability population centered sum over q cubed = 1215/64

source roles = [[-13, -13, -4, 1006], [1, 9, 6, 0], 16, -77/8, 77760, 4096]

derived = [1215/64, [-13, -4], 否]

source roles = [variance, null, null]

derived = [1215/64]

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S034 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

1215/64

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。