第 35870 題：精確有限機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -25), (1, -25), (2, -4), (3, 1018)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/28, 21/28, 6/28, 0/28]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -25), (1, -25), (2, -4), (3, 1018)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/28, 21/28, 6/28, 0/28]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-weighted, [F, S, denominator, operation, values, weights]]

derived = [variance, variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 21, 6, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 28

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-25, -25, -4, 1018], [1, 21, 6, 0], 28, null, null]

derived = [是]

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, -25)

Variance weight times transformed value i=0 = -25

source roles = [0, 0, -25, 1, null, null]

derived = [-25, 1/28]

Variance weight times transformed value i=1 := mul(21, -25)

Variance weight times transformed value i=1 = -525

source roles = [1, 1, -25, 21, null, null]

derived = [-25, 3/4]

Variance weight times transformed value i=2 := mul(6, -4)

Variance weight times transformed value i=2 = -24

source roles = [2, 2, -4, 6, null, null]

derived = [-4, 3/14]

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 1018)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1018, 0, null, null]

derived = [1018, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(-25, -525, -24, 0)

Variance mean numerator sum wY = -574

Variance exact expectation M over q := div(-574, 28)

Variance exact expectation M over q = -41/2

Variance i=0 Y times q := mul(-25, 28)

Variance i=0 Y times q = -700

Variance i=0 centered integer numerator := sub(-700, -574)

Variance i=0 centered integer numerator = -126

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-126, -126)

Variance i=0 centered numerator squared = 15876

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 15876)

Variance i=0 weight times squared numerator = 15876

Variance i=1 Y times q := mul(-25, 28)

Variance i=1 Y times q = -700

Variance i=1 centered integer numerator := sub(-700, -574)

Variance i=1 centered integer numerator = -126

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-126, -126)

Variance i=1 centered numerator squared = 15876

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(21, 15876)

Variance i=1 weight times squared numerator = 333396

Variance i=2 Y times q := mul(-4, 28)

Variance i=2 Y times q = -112

Variance i=2 centered integer numerator := sub(-112, -574)

Variance i=2 centered integer numerator = 462

Variance i=2 centered numerator squared := mul(462, 462)

Variance i=2 centered numerator squared = 213444

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(6, 213444)

Variance i=2 weight times squared numerator = 1280664

Variance i=3 Y times q := mul(1018, 28)

Variance i=3 Y times q = 28504

Variance i=3 centered integer numerator := sub(28504, -574)

Variance i=3 centered integer numerator = 29078

Variance i=3 centered numerator squared := mul(29078, 29078)

Variance i=3 centered numerator squared = 845530084

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 845530084)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(15876, 333396, 1280664, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 1629936

Variance denominator q squared := mul(28, 28)

Variance denominator q squared = 784

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(784, 28)

Variance denominator q cubed binary second factor = 21952

Variance probability population centered sum over q cubed := div(1629936, 21952)

Variance probability population centered sum over q cubed = 297/4

source roles = [[-25, -25, -4, 1018], [1, 21, 6, 0], 28, -41/2, 1629936, 21952]

derived = [297/4, [-25, -4], 否]

source roles = [variance, null, null]

derived = [297/4]

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S034 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

297/4

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。