第 35873 題：精確有限機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 12), (1, 12), (2, 36), (3, 1021)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/30, 24/30, 5/30, 0/30]，權重總和恰為一。令 Z=X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-weighted, [F, S, denominator, operation, values, weights]]

derived = [variance, variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 24, 5, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 30

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [12, 12, 36, 1021], [1, 24, 5, 0], 30, null, null]

derived = [是]

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 12)

Variance weight times transformed value i=0 = 12

source roles = [0, 0, 12, 1, null, null]

derived = [12, 1/30]

Variance weight times transformed value i=1 := mul(24, 12)

Variance weight times transformed value i=1 = 288

source roles = [1, 1, 12, 24, null, null]

derived = [12, 4/5]

Variance weight times transformed value i=2 := mul(5, 36)

Variance weight times transformed value i=2 = 180

source roles = [2, 2, 36, 5, null, null]

derived = [36, 1/6]

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 1021)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1021, 0, null, null]

derived = [1021, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(12, 288, 180, 0)

Variance mean numerator sum wY = 480

Variance exact expectation M over q := div(480, 30)

Variance exact expectation M over q = 16

Variance i=0 Y times q := mul(12, 30)

Variance i=0 Y times q = 360

Variance i=0 centered integer numerator := sub(360, 480)

Variance i=0 centered integer numerator = -120

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-120, -120)

Variance i=0 centered numerator squared = 14400

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 14400)

Variance i=0 weight times squared numerator = 14400

Variance i=1 Y times q := mul(12, 30)

Variance i=1 Y times q = 360

Variance i=1 centered integer numerator := sub(360, 480)

Variance i=1 centered integer numerator = -120

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-120, -120)

Variance i=1 centered numerator squared = 14400

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(24, 14400)

Variance i=1 weight times squared numerator = 345600

Variance i=2 Y times q := mul(36, 30)

Variance i=2 Y times q = 1080

Variance i=2 centered integer numerator := sub(1080, 480)

Variance i=2 centered integer numerator = 600

Variance i=2 centered numerator squared := mul(600, 600)

Variance i=2 centered numerator squared = 360000

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(5, 360000)

Variance i=2 weight times squared numerator = 1800000

Variance i=3 Y times q := mul(1021, 30)

Variance i=3 Y times q = 30630

Variance i=3 centered integer numerator := sub(30630, 480)

Variance i=3 centered integer numerator = 30150

Variance i=3 centered numerator squared := mul(30150, 30150)

Variance i=3 centered numerator squared = 909022500

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 909022500)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(14400, 345600, 1800000, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 2160000

Variance denominator q squared := mul(30, 30)

Variance denominator q squared = 900

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(900, 30)

Variance denominator q cubed binary second factor = 27000

Variance probability population centered sum over q cubed := div(2160000, 27000)

Variance probability population centered sum over q cubed = 80

source roles = [[12, 12, 36, 1021], [1, 24, 5, 0], 30, 16, 2160000, 27000]

derived = [80, [12, 36], 否]

source roles = [variance, null, null]

derived = [80]

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S034 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

80/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。