第 35831 題：平移後的機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -11), (1, -11), (2, -4), (3, 1004)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/12, 7/12, 4/12, 0/12]，權重總和恰為一。令 Z=X+(-7)，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -11), (1, -11), (2, -4), (3, 1004)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/12, 7/12, 4/12, 0/12]，權重總和恰為一。令 Z=X+(-7)，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-shift, [F, S, c, denominator, operation, values, weights]]

derived = [variance, shift_variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 7, 4, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 12

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-11, -11, -4, 1004], [1, 7, 4, 0], 12, null, -7]

derived = [是]

Variance translated ORIGINAL value i=0 := sum(-11, -7)

Variance translated ORIGINAL value i=0 = -18

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, -18)

Variance weight times transformed value i=0 = -18

source roles = [0, 0, -11, 1, null, -7]

derived = [-18, 1/12]

Variance translated ORIGINAL value i=1 := sum(-11, -7)

Variance translated ORIGINAL value i=1 = -18

Variance weight times transformed value i=1 := mul(7, -18)

Variance weight times transformed value i=1 = -126

source roles = [1, 1, -11, 7, null, -7]

derived = [-18, 7/12]

Variance translated ORIGINAL value i=2 := sum(-4, -7)

Variance translated ORIGINAL value i=2 = -11

Variance weight times transformed value i=2 := mul(4, -11)

Variance weight times transformed value i=2 = -44

source roles = [2, 2, -4, 4, null, -7]

derived = [-11, 1/3]

Variance translated ORIGINAL value i=3 := sum(1004, -7)

Variance translated ORIGINAL value i=3 = 997

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 997)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1004, 0, null, -7]

derived = [997, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(-18, -126, -44, 0)

Variance mean numerator sum wY = -188

Variance exact expectation M over q := div(-188, 12)

Variance exact expectation M over q = -47/3

Variance i=0 Y times q := mul(-18, 12)

Variance i=0 Y times q = -216

Variance i=0 centered integer numerator := sub(-216, -188)

Variance i=0 centered integer numerator = -28

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-28, -28)

Variance i=0 centered numerator squared = 784

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 784)

Variance i=0 weight times squared numerator = 784

Variance i=1 Y times q := mul(-18, 12)

Variance i=1 Y times q = -216

Variance i=1 centered integer numerator := sub(-216, -188)

Variance i=1 centered integer numerator = -28

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-28, -28)

Variance i=1 centered numerator squared = 784

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(7, 784)

Variance i=1 weight times squared numerator = 5488

Variance i=2 Y times q := mul(-11, 12)

Variance i=2 Y times q = -132

Variance i=2 centered integer numerator := sub(-132, -188)

Variance i=2 centered integer numerator = 56

Variance i=2 centered numerator squared := mul(56, 56)

Variance i=2 centered numerator squared = 3136

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(4, 3136)

Variance i=2 weight times squared numerator = 12544

Variance i=3 Y times q := mul(997, 12)

Variance i=3 Y times q = 11964

Variance i=3 centered integer numerator := sub(11964, -188)

Variance i=3 centered integer numerator = 12152

Variance i=3 centered numerator squared := mul(12152, 12152)

Variance i=3 centered numerator squared = 147671104

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 147671104)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(784, 5488, 12544, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 18816

Variance denominator q squared := mul(12, 12)

Variance denominator q squared = 144

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(144, 12)

Variance denominator q cubed binary second factor = 1728

Variance probability population centered sum over q cubed := div(18816, 1728)

Variance probability population centered sum over q cubed = 98/9

source roles = [[-18, -18, -11, 997], [1, 7, 4, 0], 12, -47/3, 18816, 1728]

derived = [98/9, [-18, -11], 否]

source roles = [shift_variance, null, -7]

derived = [98/9]

逐步反向核對

• S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

98/9

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。