第 35838 題：平移後的機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 2), (1, 2), (2, 16), (3, 1011)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/18, 14/18, 3/18, 0/18]，權重總和恰為一。令 Z=X+(0)，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 2), (1, 2), (2, 16), (3, 1011)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/18, 14/18, 3/18, 0/18]，權重總和恰為一。令 Z=X+(0)，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-shift, [F, S, c, denominator, operation, values, weights]]

derived = [variance, shift_variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 14, 3, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 18

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [2, 2, 16, 1011], [1, 14, 3, 0], 18, null, 0]

derived = [是]

Variance translated ORIGINAL value i=0 := sum(2, 0)

Variance translated ORIGINAL value i=0 = 2

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 2)

Variance weight times transformed value i=0 = 2

source roles = [0, 0, 2, 1, null, 0]

derived = [2, 1/18]

Variance translated ORIGINAL value i=1 := sum(2, 0)

Variance translated ORIGINAL value i=1 = 2

Variance weight times transformed value i=1 := mul(14, 2)

Variance weight times transformed value i=1 = 28

source roles = [1, 1, 2, 14, null, 0]

derived = [2, 7/9]

Variance translated ORIGINAL value i=2 := sum(16, 0)

Variance translated ORIGINAL value i=2 = 16

Variance weight times transformed value i=2 := mul(3, 16)

Variance weight times transformed value i=2 = 48

source roles = [2, 2, 16, 3, null, 0]

derived = [16, 1/6]

Variance translated ORIGINAL value i=3 := sum(1011, 0)

Variance translated ORIGINAL value i=3 = 1011

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 1011)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1011, 0, null, 0]

derived = [1011, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(2, 28, 48, 0)

Variance mean numerator sum wY = 78

Variance exact expectation M over q := div(78, 18)

Variance exact expectation M over q = 13/3

Variance i=0 Y times q := mul(2, 18)

Variance i=0 Y times q = 36

Variance i=0 centered integer numerator := sub(36, 78)

Variance i=0 centered integer numerator = -42

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-42, -42)

Variance i=0 centered numerator squared = 1764

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 1764)

Variance i=0 weight times squared numerator = 1764

Variance i=1 Y times q := mul(2, 18)

Variance i=1 Y times q = 36

Variance i=1 centered integer numerator := sub(36, 78)

Variance i=1 centered integer numerator = -42

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-42, -42)

Variance i=1 centered numerator squared = 1764

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(14, 1764)

Variance i=1 weight times squared numerator = 24696

Variance i=2 Y times q := mul(16, 18)

Variance i=2 Y times q = 288

Variance i=2 centered integer numerator := sub(288, 78)

Variance i=2 centered integer numerator = 210

Variance i=2 centered numerator squared := mul(210, 210)

Variance i=2 centered numerator squared = 44100

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(3, 44100)

Variance i=2 weight times squared numerator = 132300

Variance i=3 Y times q := mul(1011, 18)

Variance i=3 Y times q = 18198

Variance i=3 centered integer numerator := sub(18198, 78)

Variance i=3 centered integer numerator = 18120

Variance i=3 centered numerator squared := mul(18120, 18120)

Variance i=3 centered numerator squared = 328334400

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 328334400)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(1764, 24696, 132300, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 158760

Variance denominator q squared := mul(18, 18)

Variance denominator q squared = 324

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(324, 18)

Variance denominator q cubed binary second factor = 5832

Variance probability population centered sum over q cubed := div(158760, 5832)

Variance probability population centered sum over q cubed = 245/9

source roles = [[2, 2, 16, 1011], [1, 14, 3, 0], 18, 13/3, 158760, 5832]

derived = [245/9, [2, 16], 否]

source roles = [shift_variance, null, 0]

derived = [245/9]

逐步反向核對

• S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance translated ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

245/9

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。