第 35807 題：縮放後的機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -4), (1, -4), (2, 4), (3, 1005)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/14, 8/14, 5/14, 0/14]，權重總和恰為一。令 Z=2X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -4), (1, -4), (2, 4), (3, 1005)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/14, 8/14, 5/14, 0/14]，權重總和恰為一。令 Z=2X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-scale, [F, S, denominator, k, operation, values, weights]]

derived = [variance, scale_variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 8, 5, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 14

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-4, -4, 4, 1005], [1, 8, 5, 0], 14, 2, null]

derived = [是]

Variance transformed ORIGINAL value i=0 := mul(2, -4)

Variance transformed ORIGINAL value i=0 = -8

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, -8)

Variance weight times transformed value i=0 = -8

source roles = [0, 0, -4, 1, 2, null]

derived = [-8, 1/14]

Variance transformed ORIGINAL value i=1 := mul(2, -4)

Variance transformed ORIGINAL value i=1 = -8

Variance weight times transformed value i=1 := mul(8, -8)

Variance weight times transformed value i=1 = -64

source roles = [1, 1, -4, 8, 2, null]

derived = [-8, 4/7]

Variance transformed ORIGINAL value i=2 := mul(2, 4)

Variance transformed ORIGINAL value i=2 = 8

Variance weight times transformed value i=2 := mul(5, 8)

Variance weight times transformed value i=2 = 40

source roles = [2, 2, 4, 5, 2, null]

derived = [8, 5/14]

Variance transformed ORIGINAL value i=3 := mul(2, 1005)

Variance transformed ORIGINAL value i=3 = 2010

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 2010)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1005, 0, 2, null]

derived = [2010, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(-8, -64, 40, 0)

Variance mean numerator sum wY = -32

Variance exact expectation M over q := div(-32, 14)

Variance exact expectation M over q = -16/7

Variance i=0 Y times q := mul(-8, 14)

Variance i=0 Y times q = -112

Variance i=0 centered integer numerator := sub(-112, -32)

Variance i=0 centered integer numerator = -80

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-80, -80)

Variance i=0 centered numerator squared = 6400

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 6400)

Variance i=0 weight times squared numerator = 6400

Variance i=1 Y times q := mul(-8, 14)

Variance i=1 Y times q = -112

Variance i=1 centered integer numerator := sub(-112, -32)

Variance i=1 centered integer numerator = -80

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-80, -80)

Variance i=1 centered numerator squared = 6400

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(8, 6400)

Variance i=1 weight times squared numerator = 51200

Variance i=2 Y times q := mul(8, 14)

Variance i=2 Y times q = 112

Variance i=2 centered integer numerator := sub(112, -32)

Variance i=2 centered integer numerator = 144

Variance i=2 centered numerator squared := mul(144, 144)

Variance i=2 centered numerator squared = 20736

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(5, 20736)

Variance i=2 weight times squared numerator = 103680

Variance i=3 Y times q := mul(2010, 14)

Variance i=3 Y times q = 28140

Variance i=3 centered integer numerator := sub(28140, -32)

Variance i=3 centered integer numerator = 28172

Variance i=3 centered numerator squared := mul(28172, 28172)

Variance i=3 centered numerator squared = 793661584

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 793661584)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(6400, 51200, 103680, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 161280

Variance denominator q squared := mul(14, 14)

Variance denominator q squared = 196

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(196, 14)

Variance denominator q cubed binary second factor = 2744

Variance probability population centered sum over q cubed := div(161280, 2744)

Variance probability population centered sum over q cubed = 2880/49

source roles = [[-8, -8, 8, 2010], [1, 8, 5, 0], 14, -16/7, 161280, 2744]

derived = [2880/49, [-8, 8], 否]

source roles = [scale_variance, 2, null]

derived = [2880/49]

逐步反向核對

• S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

2880/49

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。