第 35813 題：縮放後的機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 2), (1, 2), (2, 16), (3, 1011)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/18, 14/18, 3/18, 0/18]，權重總和恰為一。令 Z=3X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, 2), (1, 2), (2, 16), (3, 1011)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/18, 14/18, 3/18, 0/18]，權重總和恰為一。令 Z=3X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-scale, [F, S, denominator, k, operation, values, weights]]

derived = [variance, scale_variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 14, 3, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 18

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [2, 2, 16, 1011], [1, 14, 3, 0], 18, 3, null]

derived = [是]

Variance transformed ORIGINAL value i=0 := mul(3, 2)

Variance transformed ORIGINAL value i=0 = 6

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 6)

Variance weight times transformed value i=0 = 6

source roles = [0, 0, 2, 1, 3, null]

derived = [6, 1/18]

Variance transformed ORIGINAL value i=1 := mul(3, 2)

Variance transformed ORIGINAL value i=1 = 6

Variance weight times transformed value i=1 := mul(14, 6)

Variance weight times transformed value i=1 = 84

source roles = [1, 1, 2, 14, 3, null]

derived = [6, 7/9]

Variance transformed ORIGINAL value i=2 := mul(3, 16)

Variance transformed ORIGINAL value i=2 = 48

Variance weight times transformed value i=2 := mul(3, 48)

Variance weight times transformed value i=2 = 144

source roles = [2, 2, 16, 3, 3, null]

derived = [48, 1/6]

Variance transformed ORIGINAL value i=3 := mul(3, 1011)

Variance transformed ORIGINAL value i=3 = 3033

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, 3033)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1011, 0, 3, null]

derived = [3033, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(6, 84, 144, 0)

Variance mean numerator sum wY = 234

Variance exact expectation M over q := div(234, 18)

Variance exact expectation M over q = 13

Variance i=0 Y times q := mul(6, 18)

Variance i=0 Y times q = 108

Variance i=0 centered integer numerator := sub(108, 234)

Variance i=0 centered integer numerator = -126

Variance i=0 centered numerator squared := mul(-126, -126)

Variance i=0 centered numerator squared = 15876

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 15876)

Variance i=0 weight times squared numerator = 15876

Variance i=1 Y times q := mul(6, 18)

Variance i=1 Y times q = 108

Variance i=1 centered integer numerator := sub(108, 234)

Variance i=1 centered integer numerator = -126

Variance i=1 centered numerator squared := mul(-126, -126)

Variance i=1 centered numerator squared = 15876

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(14, 15876)

Variance i=1 weight times squared numerator = 222264

Variance i=2 Y times q := mul(48, 18)

Variance i=2 Y times q = 864

Variance i=2 centered integer numerator := sub(864, 234)

Variance i=2 centered integer numerator = 630

Variance i=2 centered numerator squared := mul(630, 630)

Variance i=2 centered numerator squared = 396900

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(3, 396900)

Variance i=2 weight times squared numerator = 1190700

Variance i=3 Y times q := mul(3033, 18)

Variance i=3 Y times q = 54594

Variance i=3 centered integer numerator := sub(54594, 234)

Variance i=3 centered integer numerator = 54360

Variance i=3 centered numerator squared := mul(54360, 54360)

Variance i=3 centered numerator squared = 2955009600

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 2955009600)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(15876, 222264, 1190700, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 1428840

Variance denominator q squared := mul(18, 18)

Variance denominator q squared = 324

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(324, 18)

Variance denominator q cubed binary second factor = 5832

Variance probability population centered sum over q cubed := div(1428840, 5832)

Variance probability population centered sum over q cubed = 245

source roles = [[6, 6, 48, 3033], [1, 14, 3, 0], 18, 13, 1428840, 5832]

derived = [245, [6, 48], 否]

source roles = [scale_variance, 3, null]

derived = [245]

逐步反向核對

• S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

245/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。