第 35814 題：縮放後的機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -19), (1, -19), (2, -4), (3, 1012)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/20, 15/20, 4/20, 0/20]，權重總和恰為一。令 Z=-4X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -19), (1, -19), (2, -4), (3, 1012)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/20, 15/20, 4/20, 0/20]，權重總和恰為一。令 Z=-4X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-scale, [F, S, denominator, k, operation, values, weights]]

derived = [variance, scale_variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 15, 4, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 20

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-19, -19, -4, 1012], [1, 15, 4, 0], 20, -4, null]

derived = [是]

Variance transformed ORIGINAL value i=0 := mul(-4, -19)

Variance transformed ORIGINAL value i=0 = 76

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 76)

Variance weight times transformed value i=0 = 76

source roles = [0, 0, -19, 1, -4, null]

derived = [76, 1/20]

Variance transformed ORIGINAL value i=1 := mul(-4, -19)

Variance transformed ORIGINAL value i=1 = 76

Variance weight times transformed value i=1 := mul(15, 76)

Variance weight times transformed value i=1 = 1140

source roles = [1, 1, -19, 15, -4, null]

derived = [76, 3/4]

Variance transformed ORIGINAL value i=2 := mul(-4, -4)

Variance transformed ORIGINAL value i=2 = 16

Variance weight times transformed value i=2 := mul(4, 16)

Variance weight times transformed value i=2 = 64

source roles = [2, 2, -4, 4, -4, null]

derived = [16, 1/5]

Variance transformed ORIGINAL value i=3 := mul(-4, 1012)

Variance transformed ORIGINAL value i=3 = -4048

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, -4048)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1012, 0, -4, null]

derived = [-4048, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(76, 1140, 64, 0)

Variance mean numerator sum wY = 1280

Variance exact expectation M over q := div(1280, 20)

Variance exact expectation M over q = 64

Variance i=0 Y times q := mul(76, 20)

Variance i=0 Y times q = 1520

Variance i=0 centered integer numerator := sub(1520, 1280)

Variance i=0 centered integer numerator = 240

Variance i=0 centered numerator squared := mul(240, 240)

Variance i=0 centered numerator squared = 57600

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 57600)

Variance i=0 weight times squared numerator = 57600

Variance i=1 Y times q := mul(76, 20)

Variance i=1 Y times q = 1520

Variance i=1 centered integer numerator := sub(1520, 1280)

Variance i=1 centered integer numerator = 240

Variance i=1 centered numerator squared := mul(240, 240)

Variance i=1 centered numerator squared = 57600

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(15, 57600)

Variance i=1 weight times squared numerator = 864000

Variance i=2 Y times q := mul(16, 20)

Variance i=2 Y times q = 320

Variance i=2 centered integer numerator := sub(320, 1280)

Variance i=2 centered integer numerator = -960

Variance i=2 centered numerator squared := mul(-960, -960)

Variance i=2 centered numerator squared = 921600

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(4, 921600)

Variance i=2 weight times squared numerator = 3686400

Variance i=3 Y times q := mul(-4048, 20)

Variance i=3 Y times q = -80960

Variance i=3 centered integer numerator := sub(-80960, 1280)

Variance i=3 centered integer numerator = -82240

Variance i=3 centered numerator squared := mul(-82240, -82240)

Variance i=3 centered numerator squared = 6763417600

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 6763417600)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(57600, 864000, 3686400, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 4608000

Variance denominator q squared := mul(20, 20)

Variance denominator q squared = 400

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(400, 20)

Variance denominator q cubed binary second factor = 8000

Variance probability population centered sum over q cubed := div(4608000, 8000)

Variance probability population centered sum over q cubed = 576

source roles = [[76, 76, 16, -4048], [1, 15, 4, 0], 20, 64, 4608000, 8000]

derived = [576, [16, 76], 否]

source roles = [scale_variance, -4, null]

derived = [576]

逐步反向核對

• S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

576/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。