第 35818 題：縮放後的機率變異數

原題與已知條件

非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -23), (1, -23), (2, -4), (3, 1016)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/24, 19/24, 4/24, 0/24]，權重總和恰為一。令 Z=-3X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

• G001 — 非空有限 S={0, 1, 2, 3}、事件族 F=𝒫(S)，總函數 X:S→R 的值表為 {(0, -23), (1, -23), (2, -4), (3, 1016)}，各結果依列序 [0, 1, 2, 3] 的非負機率權重為 [1/24, 19/24, 4/24, 0/24]，權重總和恰為一。令 Z=-3X，求精確 Var(Z)=E[(Z−E[Z])²]；不是 n−1 分母的樣本變異數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

source roles = [qf-variance-scale, [F, S, denominator, k, operation, values, weights]]

derived = [variance, scale_variance, null]

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum := sum(1, 19, 4, 0)

Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum = 24

source roles = [[0, 1, 2, 3], powerset(S), [-23, -23, -4, 1016], [1, 19, 4, 0], 24, -3, null]

derived = [是]

Variance transformed ORIGINAL value i=0 := mul(-3, -23)

Variance transformed ORIGINAL value i=0 = 69

Variance weight times transformed value i=0 := mul(1, 69)

Variance weight times transformed value i=0 = 69

source roles = [0, 0, -23, 1, -3, null]

derived = [69, 1/24]

Variance transformed ORIGINAL value i=1 := mul(-3, -23)

Variance transformed ORIGINAL value i=1 = 69

Variance weight times transformed value i=1 := mul(19, 69)

Variance weight times transformed value i=1 = 1311

source roles = [1, 1, -23, 19, -3, null]

derived = [69, 19/24]

Variance transformed ORIGINAL value i=2 := mul(-3, -4)

Variance transformed ORIGINAL value i=2 = 12

Variance weight times transformed value i=2 := mul(4, 12)

Variance weight times transformed value i=2 = 48

source roles = [2, 2, -4, 4, -3, null]

derived = [12, 1/6]

Variance transformed ORIGINAL value i=3 := mul(-3, 1016)

Variance transformed ORIGINAL value i=3 = -3048

Variance weight times transformed value i=3 := mul(0, -3048)

Variance weight times transformed value i=3 = 0

source roles = [3, 3, 1016, 0, -3, null]

derived = [-3048, 0]

Variance mean numerator sum wY := sum(69, 1311, 48, 0)

Variance mean numerator sum wY = 1428

Variance exact expectation M over q := div(1428, 24)

Variance exact expectation M over q = 119/2

Variance i=0 Y times q := mul(69, 24)

Variance i=0 Y times q = 1656

Variance i=0 centered integer numerator := sub(1656, 1428)

Variance i=0 centered integer numerator = 228

Variance i=0 centered numerator squared := mul(228, 228)

Variance i=0 centered numerator squared = 51984

Variance i=0 weight times squared numerator := mul(1, 51984)

Variance i=0 weight times squared numerator = 51984

Variance i=1 Y times q := mul(69, 24)

Variance i=1 Y times q = 1656

Variance i=1 centered integer numerator := sub(1656, 1428)

Variance i=1 centered integer numerator = 228

Variance i=1 centered numerator squared := mul(228, 228)

Variance i=1 centered numerator squared = 51984

Variance i=1 weight times squared numerator := mul(19, 51984)

Variance i=1 weight times squared numerator = 987696

Variance i=2 Y times q := mul(12, 24)

Variance i=2 Y times q = 288

Variance i=2 centered integer numerator := sub(288, 1428)

Variance i=2 centered integer numerator = -1140

Variance i=2 centered numerator squared := mul(-1140, -1140)

Variance i=2 centered numerator squared = 1299600

Variance i=2 weight times squared numerator := mul(4, 1299600)

Variance i=2 weight times squared numerator = 5198400

Variance i=3 Y times q := mul(-3048, 24)

Variance i=3 Y times q = -73152

Variance i=3 centered integer numerator := sub(-73152, 1428)

Variance i=3 centered integer numerator = -74580

Variance i=3 centered numerator squared := mul(-74580, -74580)

Variance i=3 centered numerator squared = 5562176400

Variance i=3 weight times squared numerator := mul(0, 5562176400)

Variance i=3 weight times squared numerator = 0

Variance sum ALL weighted squared numerators := sum(51984, 987696, 5198400, 0)

Variance sum ALL weighted squared numerators = 6238080

Variance denominator q squared := mul(24, 24)

Variance denominator q squared = 576

Variance denominator q cubed binary second factor := mul(576, 24)

Variance denominator q cubed binary second factor = 13824

Variance probability population centered sum over q cubed := div(6238080, 13824)

Variance probability population centered sum over q cubed = 1805/4

source roles = [[69, 69, 12, -3048], [1, 19, 4, 0], 24, 119/2, 6238080, 13824]

derived = [1805/4, [12, 69], 否]

source roles = [scale_variance, -3, null]

derived = [1805/4]

逐步反向核對

• S039 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S038 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance probability population centered sum over q cubed，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q cubed binary second factor，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance denominator q squared，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance sum ALL weighted squared numerators，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=3 Y times q，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=2 Y times q，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=1 Y times q，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 weight times squared numerator，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered numerator squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 centered integer numerator，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance i=0 Y times q，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance exact expectation M over q，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance mean numerator sum wY，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=3，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=3，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=2，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=2，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance weight times transformed value i=0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance transformed ORIGINAL value i=0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Variance ORIGINAL nonnegative RAW weights sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反查本題原始操作數、角色與必要條件；重建下一步，不把單向推論倒當等價。數值/有限表核對不是任意命題的形式證明。原題、中英來源、MKO、AST、狀態與歷史均保留。

結論

1805/4

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。