第 3238 題：已全等的對應邊平方

原題與已知條件

等單位正交座標系，兩軸採同一長度單位。有序頂點 A=[[0,0],[12,13],[-13,12]]、B=[[3,5],[15,-8],[-10,-7]]，已確認非退化且全三邊標記全等；明示對應按同索引。求 A1A2 與對應 B1B2 的共同平方長度。

• G001 — 等單位正交座標系，兩軸採同一長度單位。有序頂點 A=[[0,0],[12,13],[-13,12]]、B=[[3,5],[15,-8],[-10,-7]]，已確認非退化且全三邊標記全等；明示對應按同索引。求 A1A2 與對應 B1B2 的共同平方長度。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-congruence

逐步推導

ordered triples in an orthonormal equal-unit frame

vertex indices are fixed;allow rotations,translations and reflections

A vector1 component0 := sub(12, 0)

A vector1 component0 = 12

A vector1 component1 := sub(13, 0)

A vector1 component1 = 13

A vector2 component0 := sub(-13, 0)

A vector2 component0 = -13

A vector2 component1 := sub(12, 0)

A vector2 component1 = 12

A determinant positive term := mul(12, 12)

A determinant positive term = 144

A determinant negative term := mul(13, -13)

A determinant negative term = -169

A oriented double area := sub(144, -169)

A oriented double area = 313

determinant A=313

proper triangle=是

B vector1 component0 := sub(15, 3)

B vector1 component0 = 12

B vector1 component1 := sub(-8, 5)

B vector1 component1 = -13

B vector2 component0 := sub(-10, 3)

B vector2 component0 = -13

B vector2 component1 := sub(-7, 5)

B vector2 component1 = -12

B determinant positive term := mul(12, -12)

B determinant positive term = -144

B determinant negative term := mul(-13, -13)

B determinant negative term = 169

B oriented double area := sub(-144, 169)

B oriented double area = -313

determinant B=-313

proper triangle=是

A12 delta0 := sub(12, 0)

A12 delta0 = 12

A12 square0 := square(12)

A12 square0 = 144

A12 delta1 := sub(13, 0)

A12 delta1 = 13

A12 square1 := square(13)

A12 square1 = 169

A12 squared length := sum(144, 169)

A12 squared length = 313

A13 delta0 := sub(-13, 0)

A13 delta0 = -13

A13 square0 := square(-13)

A13 square0 = 169

A13 delta1 := sub(12, 0)

A13 delta1 = 12

A13 square1 := square(12)

A13 square1 = 144

A13 squared length := sum(169, 144)

A13 squared length = 313

A23 delta0 := sub(-13, 12)

A23 delta0 = -25

A23 square0 := square(-25)

A23 square0 = 625

A23 delta1 := sub(12, 13)

A23 delta1 = -1

A23 square1 := square(-1)

A23 square1 = 1

A23 squared length := sum(625, 1)

A23 squared length = 626

B12 delta0 := sub(15, 3)

B12 delta0 = 12

B12 square0 := square(12)

B12 square0 = 144

B12 delta1 := sub(-8, 5)

B12 delta1 = -13

B12 square1 := square(-13)

B12 square1 = 169

B12 squared length := sum(144, 169)

B12 squared length = 313

B13 delta0 := sub(-10, 3)

B13 delta0 = -13

B13 square0 := square(-13)

B13 square0 = 169

B13 delta1 := sub(-7, 5)

B13 delta1 = -12

B13 square1 := square(-12)

B13 square1 = 144

B13 squared length := sum(169, 144)

B13 squared length = 313

B23 delta0 := sub(-10, 15)

B23 delta0 = -25

B23 square0 := square(-25)

B23 square0 = 625

B23 delta1 := sub(-7, -8)

B23 delta1 = 1

B23 square1 := square(1)

B23 square1 = 1

B23 squared length := sum(625, 1)

B23 squared length = 626

side 12:A²=313;B²=313

corresponding lengths equal=是

side 13:A²=313;B²=313

corresponding lengths equal=是

side 23:A²=626;B²=626

corresponding lengths equal=是

[是, 是, 是]

fixed-label SSS holds=是

all corresponding sides verified;i=1;j=2

requested common squared length=313

逐步反向核對

• S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B23 squared length，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B23 square1，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B23 delta1，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B23 square0，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B23 delta0，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B13 squared length，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B13 square1，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B13 delta1，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B13 square0，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B13 delta0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B12 squared length，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B12 square1，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B12 delta1，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B12 square0，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B12 delta0，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A23 squared length，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A23 square1，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A23 delta1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A23 square0，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A23 delta0，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A13 squared length，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A13 square1，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A13 delta1，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A13 square0，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A13 delta0，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A12 squared length，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A12 square1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A12 delta1，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A12 square0，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A12 delta0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B oriented double area，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B determinant negative term，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B determinant positive term，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B vector2 component1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B vector2 component0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B vector1 component1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B vector1 component0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A oriented double area，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A determinant negative term，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A determinant positive term，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A vector2 component1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A vector2 component0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A vector1 component1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A vector1 component0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

313

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。