第 8561 題：至多二次式的點導數

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=11x²+(-2)x+(-7)，求 f′(-2)，允許 a2=0。

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=11x²+(-2)x+(-7)，求 f′(-2)，允許 a2=0。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative

逐步推導

declared real formula on all R;derivative means the two-sided h->0 quotient limit

finite-step evaluation and derivative existence are separate

at original x a*x := mul(11, -2)

at original x a*x = -22

at original x a*x+b := sum(-22, -2)

at original x a*x+b = -24

at original x (a*x+b)*x := mul(-24, -2)

at original x (a*x+b)*x = 48

at original x f(x) := sum(48, -7)

at original x f(x) = 41

f(t)=(11)*t^2+(-2)*t+(-7);x=-2;f(x)=41;h!=0

f(x+h)-f(x)=h*(2*(11)*(-2)+(-2)+(11)*h)

twice quadratic coefficient := mul(2, 11)

twice quadratic coefficient = 22

twice a times x := mul(22, -2)

twice a times x = -44

linear part of quotient := sum(-44, -2)

linear part of quotient = -46

for h!=0,quotient=-46+(11)*h

h->0 derivative=-46

逐步反向核對

• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear part of quotient，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice a times x，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x f(x)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x (a*x+b)*x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x+b，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

-46

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。